Я пытаюсь вычислить следующий интеграл на интервале $[0,\pi]$ для переменной $\theta$.
(1/(4 Sqrt[2] r0^4 (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(
13/6)))(5 + 3 Cos[4 \[Theta]])^(
1/6) (4 (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6) (a15 r0^5 Cos[\[Theta]]^6 +
r0^4 Cos[\[Theta]]^5 ((a16 + b15) r0 Sin[\[Theta]] +
a10 (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(1/6)) +
r0^3 Cos[\[Theta]]^4 ((a17 + b16) r0^2 Sin[\[Theta]]^2 + (a11 +
b10) r0 Sin[\[Theta]] (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6)^(1/6) +
a6 (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(1/3)) +
r0^2 Cos[\[Theta]]^3 ((a18 + b17) r0^3 Sin[\[Theta]]^3 + (a12 +
b11) r0^2 Sin[\[Theta]]^2 (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6)^(
1/6) + (a7 + b6) r0 Sin[\[Theta]] (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6)^(1/3) +
a3 Sqrt[Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6]) +
r0 Cos[\[Theta]]^2 ((a19 + b18) r0^4 Sin[\[Theta]]^4 + (a13 +
b12) r0^3 Sin[\[Theta]]^3 (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6)^(
1/6) + (a8 + b7) r0^2 Sin[\[Theta]]^2 (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6)^(1/3) + (a4 + b3) r0 Sin[\[Theta]] Sqrt[
Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6] +
a1 (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(2/3)) +
Cos[\[Theta]] ((a20 + b19) r0^5 Sin[\[Theta]]^5 + (a14 +
b13) r0^4 Sin[\[Theta]]^4 (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6)^(
1/6) + (a9 + b8) r0^3 Sin[\[Theta]]^3 (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6)^(
1/3) + (a5 + b4) r0^2 Sin[\[Theta]]^2 Sqrt[
Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6] + (a2 +
b1) r0 Sin[\[Theta]] (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(
2/3) + a0 (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(5/6)) +
Sin[\[Theta]] (b20 r0^5 Sin[\[Theta]]^5 +
b14 r0^4 Sin[\[Theta]]^4 (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6)^(1/6) +
b9 r0^3 Sin[\[Theta]]^3 (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(
1/3) + b5 r0^2 Sin[\[Theta]]^2 Sqrt[
Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6] +
b2 r0 Sin[\[Theta]] (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(
2/3) + b0 (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(
5/6))) - (b15 r0^5 Cos[\[Theta]]^6 +
r0^4 Cos[\[Theta]]^5 ((-a15 + b16) r0 Sin[\[Theta]] +
b10 (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(1/6)) +
r0^3 Cos[\[Theta]]^4 ((-a16 +
b17) r0^2 Sin[\[Theta]]^2 + (-a10 +
b11) r0 Sin[\[Theta]] (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6)^(1/6) +
b6 (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(1/3)) +
r0^2 Cos[\[Theta]]^3 ((-a17 +
b18) r0^3 Sin[\[Theta]]^3 + (-a11 +
b12) r0^2 Sin[\[Theta]]^2 (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6)^(
1/6) + (-a6 + b7) r0 Sin[\[Theta]] (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6)^(1/3) +
b3 Sqrt[Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6]) +
r0 Cos[\[Theta]]^2 ((-a18 + b19) r0^4 Sin[\[Theta]]^4 + (-a12 +
b13) r0^3 Sin[\[Theta]]^3 (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6)^(
1/6) + (-a7 + b8) r0^2 Sin[\[Theta]]^2 (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6)^(1/3) + (-a3 + b4) r0 Sin[\[Theta]] Sqrt[
Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6] +
b1 (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(2/3)) -
Sin[\[Theta]] (a20 r0^5 Sin[\[Theta]]^5 +
a14 r0^4 Sin[\[Theta]]^4 (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6)^(1/6) +
a9 r0^3 Sin[\[Theta]]^3 (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(
1/3) + a5 r0^2 Sin[\[Theta]]^2 Sqrt[
Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6] +
a2 r0 Sin[\[Theta]] (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(
2/3) + a0 (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(5/6)) +
Cos[\[Theta]] ((-a19 + b20) r0^5 Sin[\[Theta]]^5 + (-a13 +
b14) r0^4 Sin[\[Theta]]^4 (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6)^(
1/6) + (-a8 + b9) r0^3 Sin[\[Theta]]^3 (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6)^(
1/3) + (-a4 + b5) r0^2 Sin[\[Theta]]^2 Sqrt[
Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6] + (-a1 +
b2) r0 Sin[\[Theta]] (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(
2/3) + b0 (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(5/6))) Sin[
4 \[Theta]])
Но математика не отвечает, я пытаюсь разбить выражение, но тоже не получается. Так может ли кто-нибудь подсказать, как вычислить этот интеграл?
Я разделил выражение следующим образом
1/(4 Sqrt[2] r0^4 (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(
13/6)) (5 + 3 Cos[4 \[Theta]])^(
1/6) (4 (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6) (a15 r0^5 Cos[\[Theta]]^6 +
r0^4 Cos[\[Theta]]^5 ((a16 + b15) r0 Sin[\[Theta]] +
a10 (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(1/6)) +
r0^3 Cos[\[Theta]]^4 ((a17 + b16) r0^2 Sin[\[Theta]]^2 + (a11 +
b10) r0 Sin[\[Theta]] (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6)^(1/6) +
a6 (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(1/3)) +
r0^2 Cos[\[Theta]]^3 ((a18 + b17) r0^3 Sin[\[Theta]]^3 + (a12 +
b11) r0^2 Sin[\[Theta]]^2 (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6)^(
1/6) + (a7 + b6) r0 Sin[\[Theta]] (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6)^(1/3) +
a3 Sqrt[Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6]) +
r0 Cos[\[Theta]]^2 ((a19 + b18) r0^4 Sin[\[Theta]]^4 + (a13 +
b12) r0^3 Sin[\[Theta]]^3 (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6)^(
1/6) + (a8 + b7) r0^2 Sin[\[Theta]]^2 (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6)^(1/3) + (a4 + b3) r0 Sin[\[Theta]] Sqrt[
Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6] +
a1 (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(2/3)) +
Cos[\[Theta]] ((a20 + b19) r0^5 Sin[\[Theta]]^5 + (a14 +
b13) r0^4 Sin[\[Theta]]^4 (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6)^(
1/6) + (a9 + b8) r0^3 Sin[\[Theta]]^3 (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6)^(
1/3) + (a5 + b4) r0^2 Sin[\[Theta]]^2 Sqrt[
Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6] + (a2 +
b1) r0 Sin[\[Theta]] (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(
2/3) + a0 (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(5/6)) +
Sin[\[Theta]] (b20 r0^5 Sin[\[Theta]]^5 +
b14 r0^4 Sin[\[Theta]]^4 (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6)^(1/6) +
b9 r0^3 Sin[\[Theta]]^3 (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(
1/3) + b5 r0^2 Sin[\[Theta]]^2 Sqrt[
Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6] +
b2 r0 Sin[\[Theta]] (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(
2/3) + b0 (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(5/6))) -
(b15 r0^5 Cos[\[Theta]]^6 +
r0^4 Cos[\[Theta]]^5 ((-a15 + b16) r0 Sin[\[Theta]] +
b10 (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(1/6)) +
r0^3 Cos[\[Theta]]^4 ((-a16 +
b17) r0^2 Sin[\[Theta]]^2 + (-a10 +
b11) r0 Sin[\[Theta]] (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6)^(1/6) +
b6 (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(1/3)) +
r0^2 Cos[\[Theta]]^3 ((-a17 +
b18) r0^3 Sin[\[Theta]]^3 + (-a11 +
b12) r0^2 Sin[\[Theta]]^2 (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6)^(
1/6) + (-a6 + b7) r0 Sin[\[Theta]] (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6)^(1/3) +
b3 Sqrt[Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6]) +
r0 Cos[\[Theta]]^2 ((-a18 + b19) r0^4 Sin[\[Theta]]^4 + (-a12 +
b13) r0^3 Sin[\[Theta]]^3 (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6)^(
1/6) + (-a7 + b8) r0^2 Sin[\[Theta]]^2 (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6)^(1/3) + (-a3 + b4) r0 Sin[\[Theta]] Sqrt[
Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6] +
b1 (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(2/3)) -
Sin[\[Theta]] (a20 r0^5 Sin[\[Theta]]^5 +
a14 r0^4 Sin[\[Theta]]^4 (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6)^(1/6) +
a9 r0^3 Sin[\[Theta]]^3 (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(
1/3) + a5 r0^2 Sin[\[Theta]]^2 Sqrt[
Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6] +
a2 r0 Sin[\[Theta]] (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(
2/3) + a0 (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(5/6)) +
Cos[\[Theta]] ((-a19 + b20) r0^5 Sin[\[Theta]]^5 + (-a13 +
b14) r0^4 Sin[\[Theta]]^4 (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6)^(
1/6) + (-a8 + b9) r0^3 Sin[\[Theta]]^3 (Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6)^(
1/3) + (-a4 + b5) r0^2 Sin[\[Theta]]^2 Sqrt[
Cos[\[Theta]]^6 +
Sin[\[Theta]]^6] + (-a1 +
b2) r0 Sin[\[Theta]] (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(
2/3) + b0 (Cos[\[Theta]]^6 + Sin[\[Theta]]^6)^(5/6))) Sin[
4 \[Theta]])
И вычислить каждый интеграл, но не работает. например, во втором блоке ответ, который мне дает математика, выделен серым, а не черным. Почему? Я не знаю.
Вот частичное, а может быть даже полное решение.
v=Expand[...your huge expression...]
Это превратит ваше огромное выражение в сумму 126 p/q
меньших, более простых выражений.
Затем
Map[Integrate[#,{\[Theta],0,Pi}]&,Take[v,20]]
с радостью довольно быстро проинтегрирует сумму первых 20 p/q
выражений и
Map[Integrate[#,{\[Theta],0,Pi}]&,Take[v,-6]]
попытается проинтегрировать сумму последних шести p/q
выражений.
Вы можете посмотреть 49-е выражение p/q
, используя
v[[49]]
или посмотрите на сумму первых 20 p/q
выражений, используя
Take[v,20]
Некоторые из них p/q
интегрировать гораздо проще и быстрее, чем другие.
Но, возможно, если вы подождете достаточно долго и вам очень-очень повезет, тогда
Map[Integrate[#,{\[Theta],0,Pi}]&,v]
даст вам интеграл всего вашего выражения, но, по крайней мере, вы сможете увидеть некоторый прогресс в этом вопросе, если интегрируете подмножества вашего полного выражения.
Я предполагаю, что причина, по которой ваша попытка разделить подынтегральное выражение на три части не сработала, заключается в том, что (
перед 4
в верхней части третьей строки, которая начинается с 1/6) (4...
, это (
соответствует только финальному )
, который находится в конце последней строки вашей третьей части. Есть ли в этом смысл?
Удачи. И проверьте это очень тщательно, чтобы убедиться, что я не допустил ошибок.
И v[[26]]
еще сложнее, чем v[[25]]
, но того же трюка едва хватает. Возможно, некоторые из следующих интегралов окажутся проще, а может быть, они будут еще сложнее. Удачи
Привет, Билл, спасибо за твой ответ, он был очень полезен. В выражении 25 мой компьютер не выполняет этот интеграл. v25= (a11 Cos[[Theta]]^10 (5 + 3 Cos[4 [Theta]])^(1/6) Sin[[Theta]])/(Sqrt[2] (Cos[[Theta]] ^6 + Грех[[Тета]]^6)^2). Только действует так, как будто математика уже решила эту проблему. Можете дать какую-то причину?
Когда ММА возвращает оригинал или слегка измененную версию оригинала вместо, надеюсь, небольшого простого ответа, который вам действительно нужен, это способ ММА сказать: «Я понятия не имею, как это сделать, поэтому ответ просто дает вам ответьте на вопрос, который вы задали». Ваша задача имеет множество дробных степеней, и они обычно создают очень сложные задачи. И там тоже могут скрываться нулевые знаменатели, что также значительно усложняет проблемы. Можно ли каким-либо образом упростить исходную задачу?
Привет, Билл, спасибо. Я понимаю. Что касается упрощения задачи, то я не верю, что это возможно, но с вашей подсказкой я получаю аванс.
Integrate[Take[v,24],{\[Theta],0,Pi}]
заканчивается довольно быстро. Для меня смена 24-25 раз — это выход. Если вы посмотрите наv[[25]]
и представите, что пытаетесь сделать это вручную, вы, возможно, поймете. Если я попробуюIntegrate[FullSimplify[v[[25]]],{\[Theta],0,Pi}]
, то для завершенияFullSimplify
потребуется некоторое время, а для завершенияIntegrate
потребуется некоторое время, но результат окажется нулевым.FullSimplify
слишком медленно, чтобы использовать его во всем выражении, но попытка использовать его для некоторых более сложных интегралов может дать вам искомое решение. Я надеюсь, что это сработает для вас.