Flutter - автозаполнение предложений TextField от SQLite

Предполагая, что этот код находится в вашем классе DBManager:

static Future<List<String>> selectItems() async {
 var db = await _openDB();
 final usersData = await db.query("albums");
 return usersData.map((Map<String, dynamic> row) {
   return row["albumname"] as String;
 }).toList();
}

Вы должны использовать setState() для обновления состояния вашего класса Widget:

  List<String> _itemsList;

  void _loadItems() async {
    setState(() => _itemsList =  await DBManager.selectItems());
  }

В противном случае ваш Container не получит уведомление об асинхронном обновлении данных.

Кроме того, важно вызвать _loadItems() в классе Widget сразу после загрузки макета, чтобы убедиться, что данные получены:

  @override
  void initState() {
    super.initState();
    WidgetsBinding.instance.addPostFrameCallback((_) => _loadItems(context));
  }

Следует полному коду примера:

void main() {
  runApp(MaterialApp(home: HomeScreen(), title: 'Flutter Example'));
}

class HomeScreen extends StatefulWidget {
  HomeScreen({Key key}) : super(key: key);

  @override
  _HomeScreenState createState() => _HomeScreenState();
}

class _HomeScreenState extends State<HomeScreen> {
  List<String> _itemsList;

  @override
  void initState() {
    super.initState();
    WidgetsBinding.instance.addPostFrameCallback((_) => _loadItems(context));
  }

  void _loadItems() async {
    setState(() => _itemsList = await DBManager.selectItems());
  }

  @override
  Widget build(BuildContext context) {
    return Scaffold(
      body: Center(
        child: Container(
          width: _width * 2,
          height: 50,
          padding: const EdgeInsets.symmetric(horizontal: 10),
          child: AutoCompleteTextField(
            controller: txtAlbumSuggest,
            suggestions: _itemsList,
            clearOnSubmit: false,
            style: TextStyle(color: Colors.black, fontSize: 15),
            decoration: InputDecoration(
                border: OutlineInputBorder(
                    borderRadius: BorderRadius.circular(20.5))),
            itemFilter: (item, query) {
              return item.toLowerCase().startsWith(query.toLowerCase());
            },
            itemSorter: (a, b) {
              return a.compareTo(b);
            },
            itemSubmitted: (item) {
              txtAlbumSuggest.text = item;
            },
            itemBuilder: (context, item) {
              return Container(
                padding: EdgeInsets.all(20.0),
                child: Row(
                  children: <Widget>[
                    Text(
                      item,
                      style: TextStyle(color: Colors.black),
                    )
                  ],
                ),
              );
            },
          ),
        ),
      ),
    );
  }
}