Html-класс не работает в css? (несмотря на правильный синтаксис)

Посмотрите на свой CSS более внимательно.

header .highlight, 
header.current a {        
  color: #e8491d;
  font-weight: bold;
}

Это переводится как что-то вроде:

For any child element of <header> with the class name .highlight and any anchor link within a <header> with class .current apply the following styles

Судя по вашему описанию, вам нужно изменить его на:

header .highlight,
header .current a {
  ...
}

Это пространство между header и .current очень важно.

Нужно дать пробел ч/б header и .current

header .highlight, 
header .current a {        
  color: #e8491d;
  font-weight: bold;
}

<header>
  <div class = "container">
    <div id = "branding">
      <h1><span class = "highlight">A</span>NİLİZ</h1>
    </div>

    <nav>
      <ul>
      <li class = "current"><a href = "Aniliz.html">Anasayfa</a></li>
      <li><a href = "hakkımızda.html">Hakkımızda</a></li>
      <li><a href = "Anilizler.html">Anilizler</a></li>
      </ul>
    </nav>
  </div>
</header>

Я узнаю код, с которым у вас возникли проблемы. Единственная проблема, которую я вижу, заключается в том, что в css в html теги прописаны правильно. Но в css похоже, что вы использовали Header .highlight, header . ток а, дважды. так должно быть

header.highlight, заголовок .current a { цвет: #e8491d: вес шрифта: полужирный;