Использование функции внутри метода Vue

вы можете создать другой метод под названием replaceFunc

methods: {
 replaceFunc(arr){
    return arr.replace('Ğ','g')
     .replace('Ü','u')
     .replace('Ş','s')
     .replace('I','i')
     .replace('ç','c');
 },

 checkAnswer(){
    this.quiz.userInputArray = this.replaceFunc(this.quiz.userAnswerArray);
 }
}

В противном случае, если вы настаиваете на вызове replaceFunc таким образом this.quiz.userAnswerArray.replaceFunc(), вы можете прочитать о добавлении пользовательских свойств в Array.prototype, что считается плохой практикой (добавление пользовательских функций в Array.prototype).