Как мы можем подсчитать количество записей и показать их в остальных API?

Ваш результат уже представляет собой массив, поэтому используйте функцию PHP count(), чтобы получить длину массива:

function country_get()
{
   $this->db->select('id,name');
   $this->db->from('countries');
   $sql = $this->db->get();
   $result = $sql->result_array();

   $response = [
       "Message" => "Number of Country found: " . count($result),
       "Status" => "Success",
       "Country" => $result
   ];

   $this->response($response, 200);
}

Попробуйте это, нет необходимости использовать count() CI уже дает вам счет в num_rows()

function country_get()
{
     $this->db->select('id,name');
     $this->db->from('countries');
     $sql = $this->db->get();
     $count = $sql->num_rows();
     $result = array();
     $result['Message'] = "Number of Country found: " . $count;
     $result['Status'] = "Success";      
     $result['Country'] = $sql->result_array();
     $this->response($result, 200);
}

замените свою функцию следующим кодом:

function country_get()
   {
         $this->db->select('id,name');
         $this->db->from('countries');
         $sql = $this->db->get();
         $res = $sql->result_array();
         $result['Status'] = "Success";
         $result['Message'] = "Total country found ".count($res);
         $result['Country'] = $res
         $this->response($result, 200);
    }