Как получить еще одно «оповещение» для каждой формы в запросе ajax?

Кажется, вы можете просто проверить e.target - для каждой формы он будет разным.

Вы можете получить больше информации о Event.target здесь: https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/API/Event/target

Вы можете сохранить оповещение в каждом теге div как атрибут данных. Например:

<div id = "login" data-msg = "message1"></div>
<div id = "lostpasswordform" data-msg = "message2"></div>
<div id = "register" data-msg = "message3"></div>


// then you can invoke them like this
let getLoginPassSystem = function (getPassForgotSystem, getLoginCheckSystem) {
  $(document).ready(function () {
    $('#login,#lostpasswordform,#register').submit(function (e) {
      e.preventDefault();
      let current_form = $(this);
      $.ajax({
        type: "POST",
        url: 'http://www.virtuelles-museum.com.udev/spielelogin/logsystem.php',
        data: $(this).serialize(),
        success: function (response) {
          var data = JSON.parse(response);

          if (data.success == "accepted") {
            document.getElementById('inner').innerHTML = 'Herzlich Willkommen';

            // location.href = 'index.php';
          } else {
            alert(current_form.attr('data-msg')); 
          }
        }
      });
    });
  })
}