Как проверить, есть ли в строке2 символы, которых нет в строке1?

strspn вернет индекс первого символа в String2, которого нет в String1. Если все символы совпадают, индекс будет равен завершающемуся нулю.

#include <stdio.h>
#include <string.h>

int main ( void) {
    char *String1 = "1234567890+-";
    char *String2 = "1+a";
    int index = strspn ( String2, String1);
    if ( String2[index]) {
        printf ( "character \'%c\' not found in %s\n", String2[index], String1);
    }
    return 0;
}

Вы можете использовать упрощенную версию union-find.

Сначала вы перебираете string1 и отмечаете все символы 1. Я пишу упрощенный код, вы можете его дополнить.

char mark[255];
for(s=string1; s; s++) mark[*s]=1;

Затем вы перебираете string2 и проверяете, отмечен ли текущий символ.

for(s=string2; s; s++) if (!mark[*s]) printf("%c", *s);

Это напечатает все символы из string2, которых нет в string1.