Как сделать так, чтобы вся программа полностью остановилась после 5 попыток (кликов)

Добавьте 2 строки в конце кода.

screen.onclick(None) #Do nothing when clicking the screen.

screen.mainloop()    #Must be last statement in a turtle graphics program.

Вместо того, чтобы накладывать пластырь на код, давайте разберем его на части и реконструируем так, чтобы он был совместим с событиями (т. е. события черепашьего таймера вместо time.sleep()). Мы также сделаем неявную черепаху по умолчанию явной, удалим несколько пустых операций и вообще настроим стиль:

from turtle import Screen, Turtle
from random import randint

bandymai = 0  # tries
taskai = 0  # points

def gaudom(x, y):
    global taskai, bandymai

    screen.onclick(None)  # disable handler inside handler

    turtle.goto(x, y)

    if turtle.distance(beglys.pos()) < 10:
        taskai += 1
        info.clear()
        info.write(taskai, font=('Arial', 20, 'bold'))
    else:
        turtle.color('black')  # miss color
        turtle.dot(20)

    bandymai += 1

    screen.onclick(gaudom)  # reenable handler

ticks = 100

def play():
    global ticks

    x = randint(-200, 200)
    y = randint(-200, 200)

    beglys.goto(x, y)

    if taskai == 3:
        screen.onclick(None)  # Do nothing when clicking the screen.
        info.write("You win!", font=('Arial', 80, 'bold'))
        return

    if bandymai == 5:
        screen.onclick(None)  # Do nothing when clicking the screen.
        info.write("You are out of trys.", font=('Arial', 50, 'bold'))
        return

    ticks -= 1
    if ticks:
        screen.ontimer(play, 1000)  # 1 second (1000 milliseconds)

screen = Screen()

turtle = Turtle()
turtle.hideturtle()
turtle.speed('fastest')
turtle.penup()

info = Turtle()
info.color('blue')
info.penup()
info.goto(-180, 160)

beglys = Turtle()
beglys.color('green')
beglys.shape('square')
beglys.penup()

screen.onclick(gaudom)

play()

screen.mainloop()  # Must be last statement in a turtle graphics program.