Как сохранить состояние виджета в Scaffold.drawer во Flutter?

В вашем случае у вас есть 2 варианта:

1. Вы должны сохранить свое состояние в виджете верхнего уровня. в вашем случае _MyHomePageState;
2. Используйте менеджеры состояний, такие как Redux, Bloc, ScopedModel. Я думаю, что ScopedModel отлично подходит для вас в этом случае.

иначе вы не сможете контролировать состояние Drawer. потому что он воссоздает каждый момент, когда вы вызываете Drawer кнопкой действия в Appbar;

Создайте отдельный виджет для ящика и просто используйте его там, где вам нужно.

Управляйте состоянием ящика с помощью Провайдер

class DrawerStateInfo with ChangeNotifier {
  int _currentDrawer = 0;
  int get getCurrentDrawer => _currentDrawer;

  void setCurrentDrawer(int drawer) {
    _currentDrawer = drawer;
    notifyListeners();
  }

  void increment() {
    notifyListeners();
  }
}

Добавление управления состоянием в дерево виджетов

class MyApp extends StatelessWidget {
  // This widget is the root of your application.
  @override
  Widget build(BuildContext context) {
    return MultiProvider(
      child: MaterialApp(
        title: 'Flutter Demo',
        theme: ThemeData(
          primarySwatch: Colors.teal,
        ),
        home: MyHomePage(title: 'Flutter Demo Home Page'),
      ),
      providers: <SingleChildCloneableWidget>[
        ChangeNotifierProvider<DrawerStateInfo>(
            builder: (_) => DrawerStateInfo()),
      ],
    );
  }
}

Создание виджета ящика для повторного использования в приложении

class MyDrawer extends StatelessWidget {
  MyDrawer(this.currentPage);

  final String currentPage;

  @override
  Widget build(BuildContext context) {
    var currentDrawer = Provider.of<DrawerStateInfo>(context).getCurrentDrawer;
    return Drawer(
      child: ListView(
        children: <Widget>[
          ListTile(
            title: Text(
              "Home",
              style: currentDrawer == 0
                  ? TextStyle(fontWeight: FontWeight.bold)
                  : TextStyle(fontWeight: FontWeight.normal),
            ),
            trailing: Icon(Icons.arrow_forward),
            onTap: () {
              Navigator.of(context).pop();
              if (this.currentPage == "Home") return;

              Provider.of<DrawerStateInfo>(context).setCurrentDrawer(0);

              Navigator.of(context).pushReplacement(MaterialPageRoute(
                  builder: (BuildContext context) =>
                      MyHomePage(title: "Home")));
            },
          ),
          ListTile(
            title: Text(
              "About",
              style: currentDrawer == 1
                  ? TextStyle(fontWeight: FontWeight.bold)
                  : TextStyle(fontWeight: FontWeight.normal),
            ),
            trailing: Icon(Icons.arrow_forward),
            onTap: () {
              Navigator.of(context).pop();
              if (this.currentPage == "About") return;

              Provider.of<DrawerStateInfo>(context).setCurrentDrawer(1);

              Navigator.of(context).pushReplacement(MaterialPageRoute(
                  builder: (BuildContext context) => MyAboutPage()));
            },
          ),
        ],
      ),
    );
  }
}

Использование ящика на одной из ваших страниц

class MyAboutPage extends StatefulWidget {
  @override
  _MyAboutPageState createState() => _MyAboutPageState();
}

class _MyAboutPageState extends State<MyAboutPage> {
  @override
  Widget build(BuildContext context) {
    return Scaffold(
      appBar: AppBar(
        title: Text('About Page'),
      ),
      drawer: MyDrawer("About"),
    );
  }
}