Как установить идентификатор состояния, когда имя выбрано в раскрывающемся списке выбора?

Вам просто нужно установить значение PickerItem на соответствующий идентификатор. Это означает изменение:

<Picker.Item label = {item.name} value = {item.name} />

к

<Picker.Item label = {item.name} value = {item.id} />

Сейчас

onValueChange = {(itemValue, itemIndex) => this.setState({teacher_name: itemValue})}

сохраняет teacher_id в переменной состояния teacher_name. Вы можете создать новую переменную состояния с именем teacher_id в своем конструкторе и сохранить там идентификатор.

Кроме того, Я бы рекомендовал небольшой рефакторинг. Вместо:

{
    // btw here is a typo your array is called allTeachers
    this.state.allteachers ?
        this.state.allteachers.map((item,key) => (
            <Picker.Item label = {item.name} value = {item.name} />
        ))
    :
    false
}

Я бы создал функцию renderPickterItems:

renderPickerItems(allTeachers){
    if (allTeachers) {
       return(
        allTeachers.map((item,key) => (
        <Picker.Item label = {item.name} value = {item.id} />
        ))
    );
    }   
  }

который вы можете вызвать с помощью:

 <Picker.Item label='Select Teacher' value='0' />
    {this.renderPickerItems(this.state.allTeachers)}
 </Picker>

Полный рабочий пример:

https://snack.expo.io/HJwLcXT6E