Как в JavaScript и HTML получить доступ к <div>, который находится на текущей кнопке?

используя this в onclick=action(), а затем родительский .parentNode тогда ваш метод будет выглядеть так:

<div>
  <button onclick = "action(this);">button</button>
</div>

function action(el) {
  console.info(el.parentNode);
}

но я предпочитаю .addEventListenerи для вашего следующего вопроса:

var $el = document.getElementById("a");
$el.addEventListener("click", function(e) {
  // Create a <button> element
  var btn = document.createElement("BUTTON");
  // Create a text node 
  var t = document.createTextNode("CLICK ME");
  // Append the text to <button>
  btn.appendChild(t);        
  // Append <button> to the parentNode          
  this.parentNode.appendChild(btn);
});

<div>
  <button id = "a">Button</button>
</div>

Также на случай, если вам интересно, есть ли более короткая версия и, вероятно, вводится jQuery:

;$(function(){
  $("#a").on("click", function(e) {  
    $(this).parent().append('<button>Click Me</button>');
  });
});

<script src = "https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/2.1.1/jquery.min.js"></script>
<div>
  <button id = "a">Button</button>
</div>

Другой, но не прямой способ получить родительский элемент вместо .parentNode - это метод .closest():

element.closest("div"); // also supported in jQuery

Возвращает первого предка элемента, то есть элемент <div>:

Передайте this в action:

<button onclick = "action(this)">button</button>

а затем в действии

function action(btn) {
    var div = btn.parentNode;
    // ...
}

или, если вы хотите немного большей гибкости, используйте (относительно новый) метод closest:

function action(btn) {
    var div = btn.closest("div");
    // ...
}

Боковое примечание: вместо обработчиков событий в стиле атрибутов onxyz рассмотрите возможность использования современной обработки событий (addEventListener, attachEvent в устаревших браузерах). Если вам нужно поддерживать устаревшие браузеры, мой ответ здесь предоставляет функцию, которую вы можете использовать для решения проблемы отсутствия addEventListener.

Если есть возможность, переходите к действию this (button). Затем вы можете получить доступ к родителю с помощью element.parentNode. Пример: https://jsbin.com/fidufa/edit

Возьмите событие, затем возьмите currentTarget, затем найдите parentNode. Очень простой способ сделать это. Это будет работать независимо от того, какой элемент нажат. См. Демонстрацию фрагмента кода.

function getParentNode(event) {
  console.info(event.currentTarget.parentNode);
}

<div id = "div1"><button onclick = "getParentNode(event)">Click</button></div>
<div id = "div2"><button onclick = "getParentNode(event)">Click</button></div>