Как вызвать обратный вызов, предоставленный свойством рендеринга, из его родительского компонента, используя хуки между рендерингами

Вы можете использовать ссылку, чтобы сохранить функцию закрытия для использования в useEffect. Вот рабочий codeandbox: https://codesandbox.io/s/popover-close-from-content-sgmgs

import React, { useEffect, useState, useRef } from "react";
import { Block } from "baseui/block";
import { Button } from "baseui/button";
import { StatefulPopover } from "baseui/popover";

export default () => {
  const closeRef = useRef();
  const [state, setState] = useState({ isSaving: false });
  useEffect(() => {
    if (state.isSaving) {
      const timeout = setTimeout(() => {
        console.info("closing", closeRef.current);
        // close popover from here
        closeRef.current && closeRef.current();
        setState({ isSaving: false });
      }, 5000);

      return () => {
        clearTimeout(timeout);
      };
    }
  }, [state.isSaving]);
  const onSave = () => {
    console.info("save btn clicked");
    setState({ isSaving: true });
  };
  return (
    <div>
      <StatefulPopover
        content = {(
          { close } // I need to call close per this library's API to close
        ) => {
          closeRef.current = close;
          return (
            <Block padding = "scale500" maxWidth = "300px">
              <Block paddingBottom = "scale400">
                content render prop is passed a <code>close()</code> callback so
                it you can manually trigger popover close from within
              </Block>
              <Button isLoading = {state.isSaving} onClick = {onSave}>
                Save
              </Button>
            </Block>
          );
        }}
      >
        <Button>Click Me</Button>
      </StatefulPopover>
    </div>
  );
};

Контекст не работает, как вы ожидаете, потому что вы пытаетесь получить доступ к контексту, используя useContext вне провайдера. Чтобы получить доступ к значению от провайдера, хуки useContext должны использоваться внутри дочернего компонента контекстного провайдера. В противном случае useContext просто получит значение по умолчанию, переданное в createContext.