Как я могу фильтровать с помощью Eloquent либо в таблицах, либо одновременно объединять таблицы?

У меня есть две таблицы, product_template и shorttitles.

Продукт может иметь несколько коротких названий, в зависимости от языка. У продукта есть основное название (называемое mmac_ebay_titolo), а у короткого названия есть название, то есть название на другом языке.

Моя цель предназначен для фильтрации, в зависимости от ввода сообщения, заголовка коротких заголовков и заголовка product_template с опубликованной строкой.

если строка фильтра не передана, все работает нормально.

Модель shorttitles имеет следующее отношение:

public function prodotto()
{
    return $this->belongsTo('App\Product', 'product_id', 'id');
}

Модель product_template имеет следующее отношение:

public function shorttitle()
{
    return $this->hasMany('App\ShortTitle', 'product_id', 'id');
}

Но я застрял с кодом ниже:

$m = self::MODEL;
$query = $m::select("*");

$data["data"] = $query
 ->with(["prodotto" => function ($q) use ($params) {
            $q->select("id", "name", "mmac_ebay_titolo")
              ->where("name", "like", "%" . $params["search"] . "%");
       }]
)->where("lang_id", " = ", 1)
 ->offset($start)
 ->limit($limit)
 ->orderBy("id", "asc")
 ->get();

Этот запрос возвращает все короткие заголовки... с "prodotto" = null, если подзапрос не соответствует предложению where. Почему?

После этого я бы отфильтровал основную таблицу коротких заголовков следующим образом:

$m = self::MODEL;
$query = $m::select("*");

$data["data"] = $query
 ->with(["prodotto" => function ($q) use ($params) {
            $q->select("id", "name", "mmac_ebay_titolo")
              ->where("mmac_ebay_titolo", "like", "%" . $params["search"] . "%");
       }]
)->where("lang_id", " = ", 1)
 ->where("name", "like", "%" . $params["search"] . "%")
 ->offset($start)
 ->limit($limit)
 ->orderBy("id", "asc")
 ->get();

Я хочу воспроизвести этот запрос:

Select
    s.name,
    p.name,
    p.mmac_ebay_titolo
From
    mmac_brx_ebay_shorttitles s Inner Join
    product_template p On s.product_id = p.id
where lang_id = 1
and
(
  s.name like '%PIGNONE%'
  or
  p.name  like '%PIGNONE%'
  or
  p.mmac_ebay_titolo like '%PIGNONE%'
)

Как я могу этого добиться?

Спасибо!