Как я могу сгруппировать поле в поддокументе в MongoDB

У меня есть следующий документ:

{
    "_id": "5a5cae1890254804e3a4655d", 
    "additional_ingredient": {
        "concentration": 40.0, 
        "formulations": [
            "5a1826c664f7fe04afbe9198"
        ]
    }
}

Внутри additional_ingredient есть поле массива formulations. Когда у меня есть поле массива на первом уровне документа, я могу использовать $unwind, затем $lookup, чтобы присоединиться к внешнему документу и группе по этому полю.

Но я не могу сделать то же самое с вложенным массивом. Какое для этого лучшее решение?

Чего я жду:

{
    "_id": "5a5cae1890254804e3a4655d", 
    "additional_ingredient": {
        "concentration": 40.0, 
        "formulations": [
            {
                "_id": "5a1826c664f7fe04afbe9198", 
                "date_created": "Fri, 24 Nov 2017 14:03:50 GMT", 
                "date_modified": "Fri, 24 Nov 2017 14:03:50 GMT", 
            }
        ]
    }
}

У меня проблема с группировкой. The field name 'additional_ingredient.formulations' cannot contain '.'

Это часть запроса:

            {"$unwind": "$additional_ingredient.formulations"},
            self.__ADDITIONAL_INGREDIENT_FORMULATION_LOOKUP_QUERY,
            {"$unwind": "$additional_ingredient.formulations"},
            {"$group": {
                "_id": "$_id",
                "additional_ingredient.formulations": {"$push": "$additional_ingredient.formulations"},
            }},