Как я могу выбрать только некоторые дочерние узлы из XML-файла на С#?

Вы можете использовать метод XmlDocument.GetElementsByTagName. Для вашего примера я сделаю что-то вроде этого:

XmlNodeList elemList = doc.GetElementsByTagName("TeamName");
XmlNodeList elemList = doc.GetElementsByTagName("TeamId");

Результатом является XmlNodeList, содержащий список всех соответствующих узлов. Если ни один узел не соответствует имени, возвращаемая коллекция будет пустой.

Строго с точки зрения xpath, следующее выражение должно выбирать ваши узлы:

/Team/*[self::TeamId or self::TeamName]

Вы можете отфильтровать XML-документ с помощью linq, а затем работать с отфильтрованными данными.

using System;
using System.Linq;
using System.Xml.Linq;
using System.IO;
using System.Xml;

static void Main(string[] args)
{
    var document = new XDocument();

    // use path to your xml file
    using (FileStream fs = File.OpenRead("examp.xml"))
    {
        using (XmlTextReader reader = new XmlTextReader(fs))
        {
            document = XDocument.Load(reader);
        }
    }

    int value;
    var query = (from element in document.Element("Base").Elements("Team")
                 where int.TryParse(element.Element("TeamId").Value.ToString(), out value)
                 select new
                 {
                     TeamName = element.Element("TeamName").Value,
                     TeamId = element.Element("TeamId").Value
                 }).ToList();

    // do further processing with filtered data
    foreach (var item in query)
    {
        Console.WriteLine($"{item.TeamName}: {item.TeamId}");
    }

    Console.ReadKey();
}

Вот еще один вариант использования LINQ to XML. Сначала создайте свой собственный класс, который будет хранить искомые данные, например:

public class TeamInfo
{
    public string TeamName { get; set; }
    public int TeamId { get; set; }
}

Затем вы должны разобрать xml в список таких объектов:

var data =
            "<Team><TeamId>1187457</TeamId><TeamName>Zanardi Redwings</TeamName><Arena><ArenaId>1184019</ArenaId><ArenaName>Evolution</ArenaName></Arena><League><LeagueId>37</LeagueId><LeagueName>România</LeagueName></League><Country><CountryId>36</CountryId><CountryName>România</CountryName></Country><LeagueLevelUnit><LeagueLevelUnitId>4109</LeagueLevelUnitId><LeagueLevelUnitName>V.171</LeagueLevelUnitName></LeagueLevelUnit><Region><RegionId>799</RegionId><RegionName>Prahova</RegionName></Region><YouthTeam><YouthTeamId>2337461</YouthTeamId><YouthTeamName>Little Redwings</YouthTeamName><YouthLeague><YouthLeagueId>436902</YouthLeagueId><YouthLeagueName>Normandie Ligue des jeunes</YouthLeagueName></YouthLeague></YouthTeam></Team>";
        var elm = new XElement("Base",data);
        var decoded = System.Web.HttpUtility.HtmlDecode(elm.ToString());//this is to remove any formatting issues when we call .ToString()

        var doc = XDocument.Parse(decoded);

        var result = doc.Root.Descendants("Team")
            .Select(y => new TeamInfo
            {
                TeamId = Convert.ToInt32(y.Element("TeamId").Value),
                TeamName = y.Element("TeamName").Value
            }).ToList();

    }