Как я могу запретить человеку вводить определенное имя пользователя в поле имени пользователя?

Можно было просто сравнить.

$forbidden_name = "NameYouWantToCheck";

$param_username = trim($_POST["username"]);
if (strtoupper($param_username) !== strtoupper($forbidden_name)) {

    // insert user in the darabase
    if ($stmt = mysqli_prepare($link, $sql)) {

        // Bind variables to the prepared statement as parameters
        mysqli_stmt_bind_param($stmt, "s", $param_username);            
    
        if (mysqli_stmt_execute($stmt)) {
            // store result
            mysqli_stmt_store_result($stmt);
            
            if (mysqli_stmt_num_rows($stmt) == 1) {
                $username_err = "This username is already taken.";*
            }
            else{
                $username = $param_username;
            }
        }
        else{
            echo "Oops! Something went wrong. Please try again later.";
        }
    }
}
else {
    echo "$forbidden_name is not allowed!";
}

Функция strtoupper переводит оба имени в верхний регистр перед сравнением.

Если вы хотите сравнить более одного значения.

Попробуйте этот код.

<?php
$reservedUsername = array('saurishmonga','users','friends','settings','logout','blahblah'));

$param_username = trim($_POST["username"]);
if (!in_array(strtolower($param_username), strtolower($reservedUsername))
{
    // insert user in the darabase
    if ($stmt = mysqli_prepare($link, $sql)) {

        // Bind variables to the prepared statement as parameters
        mysqli_stmt_bind_param($stmt, "s", $param_username);            
    
        if (mysqli_stmt_execute($stmt)) {
            // store result
            mysqli_stmt_store_result($stmt);
            
            if (mysqli_stmt_num_rows($stmt) == 1) {
                $username_err = "This username is already taken.";*
            }
            else{
                $username = $param_username;
            }
        }
        else{
            echo "Oops! Something went wrong. Please try again later.";
        }
    }
}
    else {
        echo "You can't use a reserved username";
    }

?>