`∃! х, ∃! y, P (x, y)` означают `∃! xy, P (fst xy) (snd xy)`?

Сравнительно легко доказать следующее (Coq):

Goal forall A (P : A -> A -> Prop), (exists! xy, P (fst xy) (snd xy)) -> (exists! x, exists! y, P x y).

Вопрос, которым я озадачен: верно ли обратное? Формулировка exists x, exists y, ... позволяет выбирать y на основе того, что x было выбрано на шаг назад, поэтому считается, что y зависит от x. Мне кажется (по крайней мере, я не могу себя убедить в обратном), что exists xy, ... - существование пары (x, y) иное: оно не позволяет выбирать y на основе x.

Забавный факт заключается в том, что я пытался доказать как Goal forall A (P : A -> A -> Prop), (exists! x, exists! y, P x y) -> ~ (exists! xy, P (fst xy) (snd xy))., так и его отрицание, и оба раза застрял с невозможностью построить требуемый объект или вывести False.

Пожалуйста, помогите мне.

Стоит ли изучать PHP в 2023-2024 годах?
Стоит ли изучать PHP в 2023-2024 годах?
Привет всем, сегодня я хочу высказать свои соображения по поводу вопроса, который я уже много раз получал в своем сообществе: "Стоит ли изучать PHP в...
Поведение ключевого слова "this" в стрелочной функции в сравнении с нормальной функцией
Поведение ключевого слова "this" в стрелочной функции в сравнении с нормальной функцией
В JavaScript одним из самых запутанных понятий является поведение ключевого слова "this" в стрелочной и обычной функциях.
Приемы CSS-макетирования - floats и Flexbox
Приемы CSS-макетирования - floats и Flexbox
Здравствуйте, друзья-студенты! Готовы совершенствовать свои навыки веб-дизайна? Сегодня в нашем путешествии мы рассмотрим приемы CSS-верстки - в...
Тестирование функциональных ngrx-эффектов в Angular 16 с помощью Jest
В системе управления состояниями ngrx, совместимой с Angular 16, появились функциональные эффекты. Это здорово и делает код определенно легче для...
Концепция локализации и ее применение в приложениях React ⚡️
Концепция локализации и ее применение в приложениях React ⚡️
Локализация - это процесс адаптации приложения к различным языкам и культурным требованиям. Это позволяет пользователям получить опыт, соответствующий...
Пользовательский скаляр GraphQL
Пользовательский скаляр GraphQL
Листовые узлы системы типов GraphQL называются скалярами. Достигнув скалярного типа, невозможно спуститься дальше по иерархии типов. Скалярный тип...
1
0
57
1
Перейти к ответу Данный вопрос помечен как решенный

Ответы 1

Ответ принят как подходящий

Обратное неверно. Вот контрпример:

Definition P (x y : bool) : Prop :=
  x = true -> y = true.

Lemma l1 : exists! x, exists! y, P x y.
Proof.
exists true.
split.
- exists true. split; [easy|].
  now intros y ->.
- intros x' (y & Py & unique_y).
  destruct x'; trivial.
  assert (contra : P false (negb y)).
  { intros; easy. }
  specialize (unique_y (negb y) contra).
  now destruct y.
Qed.

Lemma l2 : ~ (exists! xy, P (fst xy) (snd xy)).
Proof.
intros ([x y] & Pxy & unique_xy); simpl in *.
assert (contra : P (negb x) true).
{ intros ?. reflexivity. }
specialize (unique_xy (negb x, true) contra).
injection unique_xy as contra' _.
now destruct x.
Qed.

Хорошо, но вы доказываете это для вполне определенного P использования сопоставимости bool широко AFAICS. Есть ли способ доказать то же самое forall P?

Zazaeil 13.02.2023 23:51

@Zazaeil Вы не можете опровергнуть результат для всех предикатов P. Например, P x y может быть x = true /\ y = true, и в этом случае верно обратное.

Arthur Azevedo De Amorim 14.02.2023 15:10

Спасибо. P.S. Довольно изящная тактика манипулирования. Я узнал несколько новых вещей.

Zazaeil 14.02.2023 17:29

Другие вопросы по теме