Хотите прочитать HTML-разметку веб-страницы. Что я здесь делаю не так?

Упрощаем, но вам нужны await результаты асинхронных методов:

using var clt= new HttpClient();
var res = await clt.GetAsync("https://daera.net/dmoon/testfile.txt");

Сделайте это, и петля while (true) вам не понадобится.

Как я уже говорил в комментариях, вызов GetStringAsync() также асинхронен и возвращает Task<String>.

У вас есть несколько вариантов синхронизации этих задач с вашей основной программой.

1. Тот, который вы использовали: цикл while(true), проверяющий IsCompletedSuccessfully. Это вообще не рекомендуется, потому что это съедает ваши ресурсы, ничего не делая.
2. Используя Task.Wait(). Это блокирующий вызов и то, что вы ищете. (Отредактировано: он ближе к исходному циклу без потребления ресурсов; но вы, вероятно, не хотите блокировать свою форму до тех пор, пока не завершится HTTP-вызов, что приведет к тому, что ваша программа перестанет отвечать на запросы. Найдите вариант 3 или Task.ContinueWith())
3. Использование await, как в ответе @Joel (*).

Это ваш код, использующий вариант 1 для GetAsync() (опять же, не рекомендуется) и вариант 2 для GetStringAsync().

namespace WebReader
{
    public partial class Program
    {
        static void Main ()
        {
            using var clt= new HttpClient();
            var res = clt.GetAsync("https://daera.net/dmoon/testfile.txt");
            while (true)
            {
                if (res.IsCompletedSuccessfully)
                {
                    var responseTask = clt.GetStringAsync("https://daera.net/dmoon/testfile.txt");
                    responseTask.Wait();
                    Console.WriteLine(responseTask.Result.ToString());
                    break;
                }
                
            }
        }
    }
}

(*) Более технический. Асинхронные функции выполняются в отдельной задаче (представьте это как отдельный поток или облегченный процесс, но несколько задач могут фактически повторно использовать один и тот же поток). Когда вы используете await для вызова асинхронной функции B из функции A, вызывающая сторона (A) не будет выполнять инструкции, следующие за вызовом, пока асинхронная задача (и вызываемая сторона B) не завершится; но A немедленно вернется к вызывающему абоненту. То есть вызывающая сторона (A) также будет асинхронной (и это причина обязательного ключевого слова async). Если A — ваша функция main(), она может вернуться в среду выполнения .NET (цикл Windows Forms и т. д.), пока асинхронные задачи все еще выполняются.

Отредактировано. Как уже было сказано, использовать await проще, если вы можете пометить свою функцию Main() как async. Я не знаю, сможете ли вы сделать это с вашей версией Windows Forms (читайте комментарий @Mixin), но вы можете взять этот код консольного приложения (который работает) в качестве примера:

namespace WebReader
{
    public partial class Program
    {
        public static async Task Main ()
        {
            using var clt = new HttpClient();
            var response = await clt.GetAsync("https://daera.net/dmoon/testfile.txt");
            // You should check response.StatusCode here
            var responseContent = await clt.GetStringAsync("https://daera.net/dmoon/testfile.txt");
            Console.WriteLine(responseContent.ToString());
        }
    }
}

Как вариант, вы можете написать точно такой же код в отдельной функции, как эта, и вызывать эту функцию из фактического frm_Main(), используя Task.Wait(yourAsyncFunction()).