Lean4: Доказательство того, что `(xs = ys) = (обратное xs = обратное ys)`

Интуитивно заявить, что xs равно ys, — это то же самое, что сказать, что соответствующие обратные списки равны друг другу.

В настоящее время я изучаю Lean 4, поэтому я поставил себе следующее упражнение. Я хочу доказать следующую теорему в Lean 4:

theorem rev_eq (xs ys : List α) : (xs = ys) = (reverse xs = reverse ys)

Однако я не уверен, можно ли доказать эту теорему в Lean 4. Если нет, то почему ее нельзя доказать?

Самое близкое, что я мог сделать, это доказать утверждение в предположении, что xs = ys:

theorem rev_eq' (xs ys : List α) :
  xs = ys -> (xs = ys) = (reverse xs = reverse ys) := by
  intros h
  rw [h]
  simp

Возможно, если бы можно было доказать, что утверждение также выполняется, если предположить, что xs не равно ys, то исходная теорема последовала бы. Хотя я тоже застрял на этом маршруте.

Есть идеи?

Обратите внимание, что эта теорема представлена ​​в mathlib как List.reverse_inj. По соглашению мы обычно заявляем об эквивалентности предложений, используя , а не =.

Eric 07.02.2023 12:27
Стоит ли изучать PHP в 2023-2024 годах?
Стоит ли изучать PHP в 2023-2024 годах?
Привет всем, сегодня я хочу высказать свои соображения по поводу вопроса, который я уже много раз получал в своем сообществе: "Стоит ли изучать PHP в...
Поведение ключевого слова "this" в стрелочной функции в сравнении с нормальной функцией
Поведение ключевого слова "this" в стрелочной функции в сравнении с нормальной функцией
В JavaScript одним из самых запутанных понятий является поведение ключевого слова "this" в стрелочной и обычной функциях.
Приемы CSS-макетирования - floats и Flexbox
Приемы CSS-макетирования - floats и Flexbox
Здравствуйте, друзья-студенты! Готовы совершенствовать свои навыки веб-дизайна? Сегодня в нашем путешествии мы рассмотрим приемы CSS-верстки - в...
Тестирование функциональных ngrx-эффектов в Angular 16 с помощью Jest
В системе управления состояниями ngrx, совместимой с Angular 16, появились функциональные эффекты. Это здорово и делает код определенно легче для...
Концепция локализации и ее применение в приложениях React ⚡️
Концепция локализации и ее применение в приложениях React ⚡️
Локализация - это процесс адаптации приложения к различным языкам и культурным требованиям. Это позволяет пользователям получить опыт, соответствующий...
Пользовательский скаляр GraphQL
Пользовательский скаляр GraphQL
Листовые узлы системы типов GraphQL называются скалярами. Достигнув скалярного типа, невозможно спуститься дальше по иерархии типов. Скалярный тип...
0
1
72
2
Перейти к ответу Данный вопрос помечен как решенный

Ответы 2

Это свойство обычно доказывается по индукции. Я никогда не использовал бережливое производство, но как только введение в список будет сделано, это должно быть легко. Вам может понадобиться лемма, говорящая, что (xs = ys) -> xs@l = xs@l (также по индукции, я думаю, @ означает конкатенацию списков).

Конечно, индукция звучит разумно. Я просто борюсь с тем фактом, что не могу делать никаких предположений о значениях xs и ys. Кажется, все, что я могу сделать, это построить равенство, а затем использовать правила перезаписи, чтобы манипулировать им.

greg. 07.02.2023 10:23
Ответ принят как подходящий

В Lean обычно идиоматично заявлять о равенстве предложений, используя Iff, что эквивалентно согласно аксиоме propext. Отсюда iff — индуктивный тип с двумя сторонами, одно направление, которое вы доказали, а другое направление следует из индукции. (Эта теорема доказуема и без этой аксиомы, между прочим)

Но я бы порекомендовал вам сделать induction xs и induction ys, а затем посмотреть на цели. Два должны быть невозможными, и бережливое производство должно показать вам, что это противоречия (или вы действительно получите а, которое можно упростить до false = false) и две тривиально истинные цели. Не забудьте расширить определение reverse.

Другие вопросы по теме