Можно ли перемещаться/перемещаться на другой экран с помощью GestureDetector и имени класса?

Вам просто нужно передать имя класса, по которому вы хотите перемещаться, просто замените это имя класса на LoginScreen()

             GestureDetector(
              onTap: () {
                print("Container clicked");
                Navigator.pushReplacement(
                    context, MaterialPageRoute(builder: (_) => LoginScreen()));
              },
              child: Container(
                alignment: Alignment.center,
                width: MediaQuery.of(context).size.width,
                color: Colors.blue,
                child: Text(
                  "GET STARTED NOW",
                  style: TextStyle(
                    color: Colors.white,
                    fontWeight: FontWeight.w600,
                  ),
                ),
              ),
            ),

Просто добавьте это для вашего доступа с именем класса входа

onTap: () => Navigator.of(context).push(new MaterialPageRoute(
                    builder: (BuildContext context) => new LoginPage())), //your login class name