Набор атомных иррациональных чисел, используемый для выражения таблицы символов и соответствующих (унитарных) представлений
Я хочу вычислить иррациональное число, выраженное следующей формулой в пробеле:
3^(1/7). Я прочитал соответствующее описание здесь, но до сих пор не могу понять трюк. Будут ли числа, подобные этому, появляться при вычислении таблицы символов и соответствующих (унитарных) представлений?
P.S. По сути, я хочу выяснить следующий вопрос: для вычисления таблицы символов и соответствующих (унитарных) представлений, каков минимальный полный набор атомарных иррациональных чисел, используемый для выражения результатов?
С уважением, Гц
Ответы 1
Вы не можете сделать это со стандартными циклическими числами GAP, поскольку седьмые корни из 3 не являются циклическими. Действительно, предположим, что $r$ является таким корнем, т. е. корнем многочлена $f = x^7-3 \in \mathbb{Q}[x]$. Тогда $r$ является круговым тогда и только тогда, когда расширение поля \mathbb{Q}[x] является подполем кругового поля. По Кронекеру-Веберу это эквивалентно тому, что это поле является абелевым расширением, т. Е. Группа Галуа абелева. Можно проверить, что здесь это не так (группа Галуа является полупрямым произведением C_7 на C_6).
Итак, $r$ не является циклотомическим.
Спасибо за подробное объяснение. Что касается вычисления таблицы символов, какой тип иррациональности будет использоваться во всех случаях? Могут ли результаты всегда быть точно/аналитически выражены с помощью циклотомических чисел или других атомных иррациональностей без какого-либо приближения? Из того, что я видел до сих пор, кажется, что все результаты в таблице признаков нуждаются только в циклических числах. Я не уверен, связано ли это с унитарным представлением.