Найти максимальное значение функции для ограниченной граничной переменной, используя символьный инструмент Matlab или Matlab?
В настоящее время я решаю уравнения, и мне нужно найти максимальное значение функции.
Уравнение
v = sqrt(u^2+2*a*s);
где 0.1 <= a <= 1.5 и
u = 2.75;
s = 3.194;
Мне нужно решить последовательность уравнений, где каждый раз у меня есть одно переменное неравенство. Я хочу узнать максимальное значение v и соответствующее значение a.
Ответы 2
Подход 1: Численный (но наивный)
Этот подход использует анонимная функция с векторизацией, численно вычисляет v для диапазона возможных a с размером шага (точность в a) 0,01.
В зависимости от требуемой точности можно просто уменьшать stepsize до тех пор, пока ответ не сойдется (перестанет меняться) в пределах допуска.
% MATLAB R2017a
u = 2.75;
s = 3.194;
fh =@(a) sqrt(u.^2 + 2.*a.*s);
aLB = 0.1;
aUB = 1.5;
stepsize = 0.01; % Reduce until your answer converges (stops changing)
a = aLB:stepsize:aUB;
v = fh(a);
[v_max, ind] = max(v) % v_max = 4.1406
a(ind) % a(ind) = 1.5000
Подход 2: Численный
Этот подход использует линейный штраф, чтобы добавить ограничение aLB <= a <= aUB в целевую функцию для численной оптимизации с использованием fminsearch. Обратите внимание, что fminsearch требует начального начального предположения для a и что целевая функция должна быть векторизована.
Это хорошо работает, когда целевая функция выпукла (над a). Если целевая функция не является выпуклой, то один из подходов состоит в том, чтобы сделать это много раз из разных начальных точек, а затем выбрать лучший ответ как ваш «лучший ответ, найденный на данный момент».
Поскольку здесь мы максимизируем, а fminsearch только минимизирует, мы вводим знак минус и минимизируем. Что касается штрафной функции, мы могли бы сделать ее квадратичной или увеличить вес, но мы знаем допустимый диапазон a, что делает такие методы здесь излишними.
f2h =@(a) -fh(a) + abs(a-aLB).*(a < aLB) + abs(a-aUB).*(a > aUB);
[a_best, v_max_neg] = fminsearch(f2h,1)
v_max = -vmax_neg
Вы можете видеть, что целевая функция вогнута при осмотре (хотя вторая производная также покажет это). Таким образом, отрицание дает выпуклую функцию, что означает, что локальное решение (оптимальное), возвращаемое fminsearch, также будет глобальным решением.
fminbndнаходит функциюminimum- так как вы ищете максимальную попытку свести к минимуму противоположное ваша функция
u = 2.75;
s = 3.194;
lb = 0.1;
ub = 1.5;
v =@(a) -1*sqrt(u.^2 + 2.*a.*s);
[maximum_a,maximum_v] = fminbnd(v,lb,ub);
maximum_v = -1*maximum_v ;
%% maximum_a = 1.5
%% maximum_v =4.1405
Учитывая значение s, v является монотически возрастающей функцией a, так что максимум v всегда будет иметь место при максимальном значении a.