Написание индуктивных лемм в Дафни

Я хотел бы доказать следующее в dafny:

function append(xs: seq<int>) : seq<int> {  
  if |xs| == 0 then []  
  else [xs[0]] + append(xs[1..])
}

method test(o:seq<int>, xs: seq<int>, i:int)
requires 0 <= i < |xs|
{  
  if o == append(xs[..i])
  {
    assert o + [xs[i]] == append(xs[..(i+1)]);
  }
}

Я считаю, что это требует написания индуктивного доказательства с использованием лемм, но я не уверен, как написать лемму. онлайн документ дал примеры использования структурной индукции содержимого последовательности, но я думаю, что в этом случае шаг индукции должен быть на i? Я попытался написать один следующим образом:

lemma appendLemma (xs:seq<int>, o:seq<int>, i:int)
requires 0 <= i < |xs|
requires o == append(xs[..i])
ensures o + [xs[i]] == append(xs[..(i+1)])
{
  if i == 0
  {
    assert o + [xs[0]] == append(xs[..1]);
  }
  else
  {    
    appendLemma(xs, o, i);
    // what to do here?
  }
}

но он продолжает запрашивать пункт уменьшения, который в этом случае я не уверен, есть ли он?

То, что вы называете append, кажется простой копией последовательности. Это то, что вы намеревались?

alias 05.02.2019 17:00

да. Я пытаюсь научиться писать доказательства с помощью dafny, поэтому я решил выбрать что-то достаточно простое.

JRR 05.02.2019 21:30
Стоит ли изучать PHP в 2023-2024 годах?
Стоит ли изучать PHP в 2023-2024 годах?
Привет всем, сегодня я хочу высказать свои соображения по поводу вопроса, который я уже много раз получал в своем сообществе: "Стоит ли изучать PHP в...
Поведение ключевого слова "this" в стрелочной функции в сравнении с нормальной функцией
Поведение ключевого слова "this" в стрелочной функции в сравнении с нормальной функцией
В JavaScript одним из самых запутанных понятий является поведение ключевого слова "this" в стрелочной и обычной функциях.
Приемы CSS-макетирования - floats и Flexbox
Приемы CSS-макетирования - floats и Flexbox
Здравствуйте, друзья-студенты! Готовы совершенствовать свои навыки веб-дизайна? Сегодня в нашем путешествии мы рассмотрим приемы CSS-верстки - в...
Тестирование функциональных ngrx-эффектов в Angular 16 с помощью Jest
В системе управления состояниями ngrx, совместимой с Angular 16, появились функциональные эффекты. Это здорово и делает код определенно легче для...
Концепция локализации и ее применение в приложениях React ⚡️
Концепция локализации и ее применение в приложениях React ⚡️
Локализация - это процесс адаптации приложения к различным языкам и культурным требованиям. Это позволяет пользователям получить опыт, соответствующий...
Пользовательский скаляр GraphQL
Пользовательский скаляр GraphQL
Листовые узлы системы типов GraphQL называются скалярами. Достигнув скалярного типа, невозможно спуститься дальше по иерархии типов. Скалярный тип...
0
2
858
1

Ответы 1

Вы проведете индукцию по длине последовательности (как xs, так и o), и тогда мне также придется уменьшать, как вы можете видеть в моем доказательстве ниже. Таким образом, вы можете сказать, что делаете индукцию по i. Но что бы вы ни делали, внутренний вызов appendLemma должен быть на меньших аргументах. Он представляет индукционную гипотезу, см. Вот почему Дафни жалуется на увольнение.

Поскольку все, что мы знаем о функции append, — это ее индуктивное определение по принципу «голова/хвост», мы должны следовать этому принципу в доказательстве леммы append и применить индукцию к хвосту xs.

Мне понадобилась дополнительная лемма (appendIsCopyLemma), которая улавливает замечание Левента Эркока выше о том, что добавление на самом деле является простой копией. Обратите внимание, что Дафни проверяет эту лемму без дополнительной помощи, но вы должны вызвать ее явно в доказательстве леммы append (два раза).

Обратите внимание, что предложение уменьшения, которое Дафни пропустил в исходном коде, теперь будет выведено Дафни само по себе; аргументы рекурсивного вызова сейчас достаточно помогают.

// Verified by Dafny 2.2.0
// definition of append and test in the question above
lemma appendIsCopyLemma(xs: seq<int>)
  ensures xs == append(xs);
{ }

lemma appendLemma (xs:seq<int>, o:seq<int>, i:int)
  // decreases i; // Dafny can infer a decrease clause by itself
  requires 0 <= i < |xs|
  requires o == append(xs[..i])
  ensures o + [xs[i]] == append(xs[..(i+1)])
{
  if |xs| == 1 || i == 0
  {
    assert o + [xs[0]] == append(xs[..1]); //redundant
  }
  else
  {
    appendIsCopyLemma(xs[..i]);
    assert o[1..] == xs[1..][..i-1];
    appendLemma(xs[1..], o[1..], i-1);
    appendIsCopyLemma(xs[..i+1]);
    assert xs[..i+1] == append(xs[..i+1]);
  }
}

Другие вопросы по теме