Я хотел бы доказать следующее в dafny:
function append(xs: seq<int>) : seq<int> {
if |xs| == 0 then []
else [xs[0]] + append(xs[1..])
}
method test(o:seq<int>, xs: seq<int>, i:int)
requires 0 <= i < |xs|
{
if o == append(xs[..i])
{
assert o + [xs[i]] == append(xs[..(i+1)]);
}
}
Я считаю, что это требует написания индуктивного доказательства с использованием лемм, но я не уверен, как написать лемму. онлайн документ дал примеры использования структурной индукции содержимого последовательности, но я думаю, что в этом случае шаг индукции должен быть на i
? Я попытался написать один следующим образом:
lemma appendLemma (xs:seq<int>, o:seq<int>, i:int)
requires 0 <= i < |xs|
requires o == append(xs[..i])
ensures o + [xs[i]] == append(xs[..(i+1)])
{
if i == 0
{
assert o + [xs[0]] == append(xs[..1]);
}
else
{
appendLemma(xs, o, i);
// what to do here?
}
}
но он продолжает запрашивать пункт уменьшения, который в этом случае я не уверен, есть ли он?
да. Я пытаюсь научиться писать доказательства с помощью dafny, поэтому я решил выбрать что-то достаточно простое.
Вы проведете индукцию по длине последовательности (как xs, так и o), и тогда мне также придется уменьшать, как вы можете видеть в моем доказательстве ниже. Таким образом, вы можете сказать, что делаете индукцию по i. Но что бы вы ни делали, внутренний вызов appendLemma должен быть на меньших аргументах. Он представляет индукционную гипотезу, см. Вот почему Дафни жалуется на увольнение.
Поскольку все, что мы знаем о функции append, — это ее индуктивное определение по принципу «голова/хвост», мы должны следовать этому принципу в доказательстве леммы append и применить индукцию к хвосту xs.
Мне понадобилась дополнительная лемма (appendIsCopyLemma
), которая улавливает замечание Левента Эркока выше о том, что добавление на самом деле является простой копией. Обратите внимание, что Дафни проверяет эту лемму без дополнительной помощи, но вы должны вызвать ее явно в доказательстве леммы append (два раза).
Обратите внимание, что предложение уменьшения, которое Дафни пропустил в исходном коде, теперь будет выведено Дафни само по себе; аргументы рекурсивного вызова сейчас достаточно помогают.
// Verified by Dafny 2.2.0
// definition of append and test in the question above
lemma appendIsCopyLemma(xs: seq<int>)
ensures xs == append(xs);
{ }
lemma appendLemma (xs:seq<int>, o:seq<int>, i:int)
// decreases i; // Dafny can infer a decrease clause by itself
requires 0 <= i < |xs|
requires o == append(xs[..i])
ensures o + [xs[i]] == append(xs[..(i+1)])
{
if |xs| == 1 || i == 0
{
assert o + [xs[0]] == append(xs[..1]); //redundant
}
else
{
appendIsCopyLemma(xs[..i]);
assert o[1..] == xs[1..][..i-1];
appendLemma(xs[1..], o[1..], i-1);
appendIsCopyLemma(xs[..i+1]);
assert xs[..i+1] == append(xs[..i+1]);
}
}
То, что вы называете
append
, кажется простой копией последовательности. Это то, что вы намеревались?