Не удается получить данные из объекта json

Вы используете stringify() для данных ответа, а затем обрабатываете их как объект. Это не может работать. Просто удалите data = JSON.stringify(data);, так как у вас уже есть действительный JSON (в виде массива). Вы можете просто перебрать объекты в массиве и получить имя каждого объекта:

fetch('http://localhost:9000/quiz/code', {
    method: 'POST',
    headers: {
        'Accept': 'application/json',
        'Content-Type': 'application/json',
    },
    body: JSON.stringify({
        name: code
    })
}).then(res => res.json())
    .then(data => {
        console.info("data: ", data);
        data.forEach(function(obj)  {
            console.info("name: " + obj.name);
        });
        console.info("name: " + data[0].name);
    })

данные: [{" это массив

Вы должны получить доступ к элементу массива, прежде чем получить свойство имя:

Пример доступа по индексу:

console.info("name: " + data[0].name);

удалите строку и используйте data[0].name

data = [{"_id":"5cab356c8b35014074855ada","name":"fsgsdfgd","vragen":{"vragen":[{"question":"Hoe wordt een middagdutje zoals dit bijvoorbeeld in Spanje wordt gehouden genoemd?","answer":"Een siësta","category":"Algemeen"},{"question":"Hoe wordt een middagdutje zoals dit bijvoorbeeld in Spanje wordt gehouden genoemd?","answer":"Een siësta","category":"Algemeen"}]}}]

console.info(data[0].name)

Я удалил JSON.stringify(data) и добавил data[0].name в свой console.info. Это решило проблему. Мой новый код выглядит так:

fetch('http://localhost:9000/quiz/code', {
        method: 'POST',
        headers: {
            'Accept': 'application/json',
            'Content-Type': 'application/json',
        },
        body: JSON.stringify({
            name: code
        })
    }).then(res => res.json())
        .then(data => {
            data = data;
            console.info("name: " + data[0].name);
        })

//try like this
success: function (result) {
      console.info(result);
      show_edit_form();
      $('#txt_order_id').val(result[0].rec_id);
      $('#txt_first_name').val(result[0].fname);
      $('#txt_last_name').val(result[0].lname);
 },