Невозможно подключиться к Gemini/Vertex AI (C#/.Net)

Я новичок в Gemini/Vertex AI и не могу подключиться. Я попробовал два разных предложения кода, предложенные в чате Gemini (см. ниже). Я совершенно уверен, что следующая информация, использованная в URL-адресе, верна (опечаток точно нет):

API-ключ идентификатор проекта

Я менее уверен в местоположении: оно не отображается в консоли, а в чате Gemini говорится, что для моего проекта нет точного местоположения. По предложению бота я запросил список через Cloud SDK для идентификатора моего проекта и попробовал несколько мест из полученного списка. Однако местоположение, похоже, не влияет на ответы.

Для проекта включены API-интерфейсы Gemini и Vertex AI. У меня также есть пользовательские роли «владелец» и «пользователь Vertex AI», определенные в консоли Cloud, и нет никаких ограничений на ключ API. Также в переменную среды GOOGLE_APPLICATION_CREDENTIALS была установлена ​​соответствующая информация.

По словам чат-бота Gemini, сгенерированный URL должен сработать «с большой вероятностью». Насколько я вижу, условия, перечисленные ботом, тоже выполняются, но явно что-то не так. Любая помощь очень ценится!

Вот две версии кода (хотя обе используют один и тот же URL-адрес, ошибка HTTP отличается):

// Следующие переменные одинаковы для обоих: ===================================

    private static readonly string projectId = "xxxx";
    private static readonly string location = "europe-west1"; // one of several tried
    private static readonly string geminiApiKey = "xxxx";
    private static readonly string url = $"https://{location}-aiplatform.googleapis.com/v1/projects/{projectId}/locations/{location}/publishers/google/models/gemini-pro:generateContent";

//============================================== =========================================

// попытка 1 - результат HTTP 401 "неавторизованный" ==================================

    var content = new StringContent(CreateTextRequestBody(text), Encoding.UTF8, "application/json");
    var client = new HttpClient();

    client.DefaultRequestHeaders.Authorization = new AuthenticationHeaderValue("Bearer", geminiApiKey);

    var response = await client.PostAsync(url, content);

    if (response.IsSuccessStatusCode)
    {
          string responseContent = await response.Content.ReadAsStringAsync();
          // Parse the JSON response to get the generated text
          return responseContent;
     }
     else
     {
          throw new Exception($"Gemini request error: {response.StatusCode} {response.ReasonPhrase}");
     }

//============================================== =========================================

// попытка 2 — результат HTTP 404 «Неверный ответ gRPC». ===================================

    var instance = new Google.Protobuf.WellKnownTypes.Value
    {
         StructValue = new Struct
         {
             Fields =
             {
                 { "input_text", Google.Protobuf.WellKnownTypes.Value.ForString("Hello, world!") }
             }
         }
    };

    // Convert instance to a list of values
    var instances = new List<Google.Protobuf.WellKnownTypes.Value> { instance };

    // Optional: Additional parameters for prediction
    var parameters = new Google.Protobuf.WellKnownTypes.Value
    {
        StructValue = new Struct
        {
            Fields =
            {
                { "param_key", Google.Protobuf.WellKnownTypes.Value.ForString("param_value") }
            }
        }
    };

    try
    {
        // Making the predict request
        PredictResponse response = predictionClient.Predict(url, instances, parameters);

        // Print the response
        foreach (var prediction in response.Predictions)
        {
            Debug.WriteLine($"Prediction: {prediction}");
        }
    }
    catch (Grpc.Core.RpcException e)
    {
        Debug.WriteLine($"RPC failed: {e.Status}");
    }

//============================================== =========================================

Опять же, любая помощь будет полезна, я понятия не имею, что еще попробовать.