Оператор Switch по умолчанию всегда показывает значение по умолчанию

Потому что у вас нет break в ваших переключателях.

Проверьте документацию по оператору switch на МДН. О break (акцент мой) сказано следующее.

The optional break statement associated with each case label ensures that the program breaks out of switch once the matched statement is executed and continues execution at the statement following switch. If break is omitted, the program continues execution at the next statement in the switch statement.

Поэтому обновите свои дела, чтобы они выглядели как

case people.names[0]:
  alert(people.names[0] + "'s email: " + people.emails[0] + " phone number: " + people.phonenums[0]);
  break;

Вам необходимо предоставить оператор break

Вам нужно поставить breaks в операторе switch, если вы не хотите, чтобы работало значение по умолчанию. Просто сделайте это:

var people = {
    names : ["Sam", "Tim", "Steve"],
    emails : ["[email protected]", "[email protected]", "[email protected]"],
    phonenums : [1111, 2222, 4545]
}

var search = prompt("Type in someone's name to find their phone number and email.");
switch(search) {
    case people.names[0]:
        alert(people.names[0] + "'s email: " + people.emails[0] + " phone number: " + people.phonenums[0]);
        break;

    case people.names[1]:
        alert(people.names[1] + "'s email: " + people.emails[1] + " phone number: " + people.phonenums[1]);
        break;

    case people.names[2]:
        alert(people.names[2] + "'s email: " + people.emails[2] + " phone number: " + people.phonenums[2]);
        break;

    default:
        alert("I don't know that person.");
}

В вашем конкретном сценарии вам может быть лучше искать индекс правильного человека и использовать его, чтобы ваш массив мог свободно увеличиваться и уменьшаться. Что-то вроде этого может работать:

var search = prompt("Type in someone's name to find their phone number and email.");
boolean found = false;
int i = 0;
while(!found && i<people.names.length) {
    if (people.names[0] == search){
        found=true;
    } else {
        i++;
    }
}
if (found){
        alert(people.names[i] + "'s email: " + people.emails[i] + " phone number: " + people.phonenums[i]);
} else {
        alert("I don't know that person.");
}

Мой js ржавый, и я использую свой телефон, я проверю позже на наличие синтаксических ошибок, если никто не заметит их.