Определение точного количества выполнений алгоритма

У меня есть алгоритм, такой как:

for(int i=1; i<=n; i++)
  for(int j=1; j<=2*n; j=j+2)
     for(int k=i; k<=j; k++)
        instr;

Мне нужно найти формулу, которая будет определять, сколько раз будет выполняться инструкция "instr".

Я написал это. . Но я получаю неверные значения. Например, для n=4 "instr" будет выполнен 43 раза, но я получаю 40 из своей суммы.

Где я накосячил?

Стоит ли изучать PHP в 2023-2024 годах?
Стоит ли изучать PHP в 2023-2024 годах?
Привет всем, сегодня я хочу высказать свои соображения по поводу вопроса, который я уже много раз получал в своем сообществе: "Стоит ли изучать PHP в...
Поведение ключевого слова "this" в стрелочной функции в сравнении с нормальной функцией
Поведение ключевого слова "this" в стрелочной функции в сравнении с нормальной функцией
В JavaScript одним из самых запутанных понятий является поведение ключевого слова "this" в стрелочной и обычной функциях.
Приемы CSS-макетирования - floats и Flexbox
Приемы CSS-макетирования - floats и Flexbox
Здравствуйте, друзья-студенты! Готовы совершенствовать свои навыки веб-дизайна? Сегодня в нашем путешествии мы рассмотрим приемы CSS-верстки - в...
Тестирование функциональных ngrx-эффектов в Angular 16 с помощью Jest
В системе управления состояниями ngrx, совместимой с Angular 16, появились функциональные эффекты. Это здорово и делает код определенно легче для...
Концепция локализации и ее применение в приложениях React ⚡️
Концепция локализации и ее применение в приложениях React ⚡️
Локализация - это процесс адаптации приложения к различным языкам и культурным требованиям. Это позволяет пользователям получить опыт, соответствующий...
Пользовательский скаляр GraphQL
Пользовательский скаляр GraphQL
Листовые узлы системы типов GraphQL называются скалярами. Достигнув скалярного типа, невозможно спуститься дальше по иерархии типов. Скалярный тип...
0
0
251
1
Перейти к ответу Данный вопрос помечен как решенный

Ответы 1

Ответ принят как подходящий

Из кода

int count = 0;
for(int i=1; i<=n; i++)
  for(int j=1; j<=2*n; j=j+2)
     for(int k=i; k<=j; k++)
         count++;

можно преобразовать его в семантически эквивалентный:

int count = 0;
for(int i=1; i<=n; i++)
    for(int j=1; j<=n; j++)
        for(int k=i; k<=2*j - 1; k++)
           count++;

Если бы кто-то напечатал переменную count в конце обеих версий кода, ее значения были бы:

       |  loop 1 | loop 2
________________________________ 
N = 1  |    1    |   1
N = 2  |    6    |   6
N = 3  |    19   |   19 
N = 4  |    43   |   43 
N = 5  |    82   |   82

Из второго цикла вы извлекли формулу:

Что имеет смысл на бумаге, однако есть одна загвоздка. Преобразование вашей формулы в код:

   public static int third_loop(int n ){
        int count = 0;
        for(int i=1; i<=n; i++)
            for(int j=1; j<=n; j++)
                count += (2 * j - 1)  - i + 1;
        return count;
    }

и показывая значения переменной count:

       | loop  1 | loop 2 | loop 3
____________________________________
N = 1  |    1    |   1    |    1
N = 2  |    6    |   6    |    6
N = 3  |    19   |   19   |    18
N = 4  |    43   |   43   |    40 
N = 5  |    82   |   82   |    75

Значения count теперь другие, и причина этого в том, что будут итерации, где (2 * j - 1) < i + 1, поэтому формула (2 * j - 1) - i + 1 даст отрицательные результаты, и добавьте эти результаты в переменную count. Что-то, чего неявно избегали во втором цикле. Если изменить третий цикл на:

  public static int fourth_loop(int n ){
        int count = 0;
        for(int i=1; i<=n; i++)
            for(int j=1; j<=n; j++)
                count += Math.max((2 * j - 1)  - i + 1, 0);
        return count;
    }

можно было бы получить:

      | loop  1 | loop 2  | loop 3  | loop 4
__________________________________________
N = 1  |    1    |   1    |    1    |  1
N = 2  |    6    |   6    |    6    |  6
N = 3  |    19   |   19   |    18   |  19
N = 4  |    43   |   43   |    40   |  43
N = 5  |    82   |   82   |    75   |  82

Таким образом, проблема с вашей формулой заключается в том, что она также учитывает отрицательные значения, а ваш код - нет. Поскольку у меня нет математических инструментов, чтобы дать вам точную формулу, я прошу ваших друзей из math.stackexchange сделать это.

Обновлено: Из вознаграждения, которое я предложил, Мэтью Тауэрс получил следующее точное выражение:

Другие вопросы по теме