Параметр имени маршрута laravel

Ваш <form> использует method='get' вместо method='POST' (который используется для отправки данных в запрос через форму.

Вам также нужно будет использовать @csrf в своем шаблоне блейда, иначе вы не сможете публиковать данные:

<form action = "{!! route('penpal.index', ['menu' => 'p11-c3']) !!}" method = "POST">
   @csrf
   <select id = "inputState" class = "form-control" style = "height:35px; width:80%" name = "pagination" onchange = "this.form.submit()">
      <option value = "3">@lang('penpal/component/indexMenu.twelve')</option>
      <option value = "4">@lang('penpal/component/indexMenu.twenty_four')</option>
      <option value = "5">@lang('penpal/component/indexMenu.thirty_six')</option>
   </select>
</form>

Наконец, убедитесь, что ваш маршрут является маршрутом ::post().

Use Post method both route and form

<form action = "{!! route('penpal.index', ['menu' => 'p11-c3']) !!}" method = "post">
Route::match(['get','post'],'/index', 'Penpal\ViewController@index')->name('penpal.index');

Вы не установили никаких параметров маршрута для своего маршрута и не передали их методу вашего контроллера. И было бы лучше использовать POST, чем GET.

Измените это на

Route::get('/index', 'Penpal\ViewController@index')->name('penpal.index');

это

Route::post('/index/{menu?}', 'Penpal\ViewController@index')->name('penpal.index');

и твоя форма

<form action = "{{ route('penpal.index', ['menu' => 'p11-c3']) }}" method = "POST">
@csrf

И в вашем методе контроллера вы можете получить переданный параметр

 public function index (Request $request, $menu){
    print_r($menu);
 }