Пожалуйста, научите меня, как сортировать список данных php по 4 вправо

Вы можете использовать метод сбора laravel chunk() (https://laravel.com/docs/5.8/collections#method-chunk).

Метод chunk разбивает коллекцию на несколько меньших коллекций заданного размера:

@foreach($penpals->chunk(4) as $penpalsGroup)
    <div class = "row">
        @forach($penpalsGroup as $penpal)
            <div class = "col" style = "border:1px solid red">
                <table border>
                    <tr style = "border:1px solid red">
                        <td>
                            @if ($penpal->image)
                                <a href = "#">
                                    <img 
                                        src = "{{ $penpal->image }}" 
                                        alt = "No Image"
                                        style = "max-width: none; height: 170px; width: 170px; display: inline; " 
                                        class = "img-thumbnail" />
                                </a>
                            @else
                                <a href = "#">
                                    <img 
                                        src = "{{ asset("data/ProjectImages/master/logoImage/6.png") }}" 
                                        alt = "No Image"
                                        style = "max-width: none; height: 170px; width: 170px; display: inline;" 
                                        class = "img-thumbnail" />
                                </a>
                            @endif
                        </td>
                    </tr>
                    <tr class = "text-center">
                        <td>
                            {{ $penpal->user->name  }}

                            @if ($penpal->user->gender == 'men')
                                <img src = "{{ asset("data/ProjectImages/master/men.png") }}" alt = "men">
                            @else
                                <img src = "{{ asset("data/ProjectImages/master/women.png") }}" alt = "women">
                            @endif

                            {{ $penpal->user->age  }}

                            @if ($penpal->user->country == 'ko')
                                <img src = "{{ asset("data/ProjectImages/master/korea.png") }}" alt = "men">
                            @else
                                <img src = "{{ asset("data/ProjectImages/master/japan.png") }}" alt = "women">
                            @endif
                        </td>
                    </tr>
                </table>
            </div>
        @endforeach
    </div>
@endforeach

Я думаю, что ваша проблема заключается в попытке решить вашу проблему с помощью таблицы, а не css или бутстрапа, если вы используете бутстрап, я думаю, да, вы можете сделать что-то вроде этого:

<div class = "row">
    @foreach( $penpals as $penpal )
        <div class = "col-3">
            //Content here    
        </div>
    @endforeach
</div>

Он должен работать.