Правильный способ вызова модального диалога из другого компонента в Angular?

Извлеките эту логику данных из компонентов и переместите ее в отдельный сервис.

// Move functions for opening the modal from DepartmentComponent to a service
@Injectable({providedIn: 'root'})
export class DepartmentService {
  constructor(private modalService: ModalService){}

  openModal(data) {...}

  create() {...}
}

// Inject the service into EmployeeComponent
export class EmployeeComponent {
  constructur(private departmentService: DepartmentService){}

  createDepartment() {
    this.departmentService.openModal()/create();  // whichever you actually need to call (should probably only be one that delegates to other functions)
  }
}

Обновлено:
С дополнительной информацией конкретная форма (для создания отдела) предназначена для отображения более чем в одном месте в приложении (в модальном компоненте и компоненте сотрудника).

Для этого создайте компонент, который содержит форму (с кнопкой создания и т. д.) и необходимые обработчики событий (например, кнопку создания отдела) и отобразите их там, где это необходимо (фактическая логика создания отдела должна быть в отдельном сервисе).

Например. в html сотрудника

... employee information ...
<app-createdepartment></app-createdepartment>

И модальное окно должно быть примерно таким (компонент может быть в EntryComponents, в зависимости от угловой версии):

let dialogRef = dialog.open(CreateDepartmentComponent, {
  height: '400px',
  width: '600px',
});

(Документы для MatDialog: https://material.angular.io/components/dialog/overview)

<button type = "button" (click) = "addCampaignProduct()" mat-raised-button color = "primary"
[title] = "'ADD_CAMPAIGN_PRODUCT' | translate:lang">
<i class = "material-icons">add_circle</i>{{ 'ADD_CAMPAIGN_PRODUCT' | translate:lang }}
</button>

класс экспорта CampaignConfigurableProductsComponent реализует OnInit, AfterViewInit { }

    addCampaignProduct() {
        const dialogRef = this.dialog.open(AddConfigurableProductComponent, {
            disableClose: true,
            data: { campaignId: this.params.id }
        })
        dialogRef.afterClosed().subscribe(() => {
          this.ngOnInit()
        });
    }

export class AddConfigurableProductComponent implements OnInit { 


 addProduct() {
    const selectedOrderIds = this.addProductForm.value.colors
      .map((checked, i) => checked ? this.colorAttributeData[i].config_product_option_value : null)
      .filter(v => v !== null);

    if (this.addProductForm.value.actual_price == '') {
      this.sales_price = this.addProductObj.recommended_price;
    } else {
      this.sales_price = this.addProductForm.value.actual_price;
    }
    this.addProductObj['sales_price'] = this.sales_price;
    this.addProductObj['actual_price'] = this.finalPriceValue;
    this.addProductObj['campaign_id'] = this.data.campaignId;

this.campaignService.addProductCatalog(this.addProductObj).subscribe((response: any) => {
      if (response) { 

      }
  }, (error) => {
      this.notify.error('Something went wrong')
      console.info(error)
    })
}



}