Преобразование повторяющегося двоичного числа в десятичное

Вы должны заметить, что числа все еще в двоичном формате. Таким образом, в десятичном виде вы получаете, что целая часть y равна 2, а 2y равна 5, так что в разнице y=3.

Обратите внимание, что в двоичном 0.1(1)=1 так же, как и в десятичном 0.9(9)=1. Таким образом, альтернативным способом x является в точности бинарным 0.11, то есть 1/2+1/4=3/4.

Вы можете сделать это следующим образом:

х = (0,1011111)₂

Представление вышеуказанного двоичного члена в десятичном виде дает нам:

х = 1/2¹ + 0/2² + 1/2³ + 1/2⁴ + ... )
х = 1/2 + 1/2²*(1/2¹ + 1/2² + 1/2³ + ...)

Если мы проигнорируем термин, выделенный жирным шрифтом в приведенном выше уравнении, термин в скобках станет Икс, поэтому мы можем сказать, что термин в скобках равен (х+1/2²)

х = 1/2 + 1/2 ² * (х + 1/2 ²)
х = 1/2 + х/4 + ​​1/16

Решите вышеприведенное уравнение

3x/4 = 9/16
х = 3/4

Вот обобщение этой проблемы на частую ситуацию с повторяющимися паттернами.

Предположим, что x=0,001100110011..., где шаблон 0011 повторяется бесконечно.

Пусть a будет шаблоном (0011 для x), а k будет его длиной (т.е. 4 для x).

х = а×2^-к+а×2^-2к+...
= a×2^-k×∑_i=0^∞ (2^-k)^i
= a×2^-k×lim_n→∞(1-(2^-k)^n)/(1-2^-k)
поскольку x - это сумма геометрического ряда с отношением 2 ^ k.

Когда n стремится к ∞, (2^-k)^n стремится к нулю, и мы имеем
х = а × 2 ^ -к / (1-2 ^ -к) = а / (2 ^ к-1)

Если x=0,11111..., a=1, k=1 и x=1/(2-1)=1, мы получаем результат, уже представленный (гораздо проще!) Лутцем, который отвечает на исходный вопрос.

Но мы можем решить более сложные задачи с любым повторяющимся шаблоном.
Например, если x=0,001100110011..., мы имеем a=0011=3 и k=4.
Отсюда х=3/(2^-4-1)=1/5=0,2

Обобщение ситуации, когда повторяющемуся паттерну предшествует неповторяющаяся последовательность, является немедленным.