Продолжить запись с помощью getDisplayMedia на странице после перезагрузки

MediaStream привязан к ответственному документу своей области. Когда политика разрешений этого документа изменится или документ умрет (выгрузится), захваченные треки MediaStream прекратятся.

Единственным выходом для вашего случая было бы начать запись из другого документа (всплывающего окна/вкладки), который ваши пользователи должны были бы постоянно держать открытыми.

Вот plnkr, демонстрирующий это, но это может быть довольно сложно для ваших пользователей...

На странице для записи:

const button = document.querySelector( "button" );
const video = document.querySelector( "video" );
// We use a broadcast channel to let the popup window know we did reload
// When the popup receives the message
// it will set our video's src to its stream
const broadcast = new BroadcastChannel( "persistent-mediastream" );
broadcast.postMessage( "ping" );
// wait a bit for the popup has the time to set our video's src
setTimeout( () => {
  if ( !video.srcObject ) { // there is no popup yet
    button.onclick = (evt) => {
      const popup = open( "stream-master.html" );
      clean();
    };
  }
  else {
    clean();
  }
}, 100);
function clean() {
  button.remove();
  document.body.insertAdjacentHTML("afterBegin", "<h4>You can reload this page and the stream will survive</h4>")
}

и на всплывающей странице

let stream;
const broadcast = new BroadcastChannel( "persistent-mediastream" );
// when opener reloads
broadcast.onmessage = setOpenersVideoSource;

const button = document.querySelector( "button" );
// we need to handle an user-gesture to request the MediaStream
button.onclick = async (evt) => {
  stream = await navigator.mediaDevices.getDisplayMedia( { video: true } );
  setOpenersVideoSource();
  button.remove();
  document.body.insertAdjacentHTML("afterBegin", "<h4>Go back to the previous tab</h4>");
};
function setOpenersVideoSource() {
  if ( opener ) {
    opener.document.querySelector( "video" ).srcObject = stream;
  }
}