React Promise не вернет значение

HTTP-ответ необходимо преобразовать в json, используйте метод json().

 let cards = await fetch(
        baseURL+'boards/'+board+'/cards?key='+key+'&token='+token, 
        {
          method: 'GET',
          headers: {
            'Accept': 'application/json'
        }
      })
      .then(response => {return response.json()})
      .catch(err => console.error(err));

GetCardsFromBoard возвращает обещание. async/await — это просто сахар поверх промисов, который на самом деле не делает код менее асинхронным. Следовательно, вашему компоненту TrelloTester все равно придется обрабатывать функцию как обещание.

Обратите внимание, что я удалил then в ваших обещаниях; если вы используете async/await, то вы можете просто await все промисы!

export async function GetCardsFromBoard(board) {
  try {
    const cards = await fetch(
        baseURL+'boards/'+board+'/cards?key='+key+'&token='+token, 
        {
          method: 'GET',
          headers: {
            'Accept': 'application/json'
        }
      })
    return await cards.text();
  } catch(e) {
    console.info(e);
  }
}

В вашем компоненте, поскольку это асинхронно, я рекомендую рассматривать это как эффект и использовать хук useEffect в сочетании с хуком useState.

import React, { useEffect, useState } from "react";

export function TrelloTester() {
  const [bodyStr, setBodyStr] = useState("");

  useEffect(() => {
    cont getCards = async () => {
      const cards = await GetCardsFromBoard(boardID);
      setBodyStr(cards);
    }
    getCards();
  }, []);

  return bodyStr ? (
    <BigCard header = " " body = {bodyStr}/>
  ) : "Loading...";
    
}

export default TrelloTester;