Реакция и вопрос Javascript, кнопка изменения цвета фона

getElementsByClassName("midia-wrapper") результатом являются все элементы DOM, которые имеют имя класса midia-wrapper, поэтому вы должны указать, используя индекс массива.

back[0].style.backgroundColor = "#ffffff";

Как упоминалось в моем комментарии, в React вы не получаете доступ к DOM напрямую; способ сделать то, что вы хотите сделать, это:

import React, { useState } from "react";

const selectRandomColor = () => {
    const randomnumber = Math.floor(Math.random() * 10);

    switch (randomnumber) {
        case 1:
            return "#ffffff";
        case 2:
            return "#000000";
        case 3:
            return "#008bb2";
        case 4:
            return "#0935B3";
        case 5:
            return "#B33212";
        case 6:
            return "#B38612";
        // ...
        default:
            return "#ffffff";
    }
};

const MyComponent = () => {
    const [bgColor, setBgColor] = useState(selectRandomColor());

    return (
        <React.Fragment>
            <div className = "midia-wrapper" style = {{ backgroundColor: bgColor }}>
                {renderFile()}
            </div>

            <button
                onClick = {() => setBgColor(selectRandomColor())}
                className = "change-background"
            >
                Change Background <i className = "fas fa-palette"></i>
            </button>
        </React.Fragment>
    );
};

export default MyComponent;