Решите огромную разреженную линейную систему, где A является результатом произведения Крона

Видя, как ваши матрицы обычно довольно разрежены, конечный результат тензорного произведения не должен занимать так много памяти. Это один из случаев, когда векторизация просто невозможна из-за огромных требований к памяти промежуточных вычислений, но вполне возможна с использованием циклов (и частичной векторизации).

Обратите внимание, что это решение типа "лучше, чем ничего, но ненамного".

Я буду использовать ndSparse подача, так как это упрощает работу с разреженными матрицами.

% Create some matrices
[A,B] = deal(sparse(1000,1000));
A(randperm(1000^2, 10000)) = randn(1E4, 1);
B(randperm(1000^2, 10000)) = randn(1E4, 1);
A = ndSparse(A); B = ndSparse(B);

% Kronecker tensor product, copied from kron.m
[ma,na] = size(A);
[mb,nb] = size(B);
A = reshape(A,[1 ma 1 na]);
B = reshape(B,[mb 1 nb 1]);
% K = reshape(A.*B,[ma*mb na*nb]);                    % This fails, too much memory.
K = ndSparse(sparse(mb*ma*nb*na,1),[mb, ma, nb, na]); % This works

Отсюда можно действовать в зависимости от доступной памяти:

% If there's plenty of memory (2D x 1D -> 3D):
for ind1 = 1:mb
  K(ind1,:,:,:) = bsxfun(@times, A, B(ind1, :, :, :));
end

% If there's less memory (1D x 1D -> 2D):
for ind1 = 1:mb
  for ind2 = 1:ma
    K(ind1,ind2,:,:) = bsxfun(@times, A(:, ind2, :, :), B(ind1, :, :, :));
  end
end

% If there's even less memory (1D x 0D -> 1D):
for ind1 = 1:mb
  for ind2 = 1:ma
    for ind3 = 1:nb
      K(ind1,ind2,ind3,:) = bsxfun(@times, A(:, ind2, :, :), B(ind1, :, ind3, :));
    end
  end
end

% If there's absolutely no memory (0D x 0D  -> 0D):
for ind1 = 1:mb
  for ind2 = 1:ma
    for ind3 = 1:nb
      for ind4 = 1:na
        K(ind1,ind2,ind3,ind4) = A(:, ind2, :, ind4) .* B(ind1, :, ind3, :);
      end
    end
  end
end

K = sparse(reshape(K,[ma*mb na*nb])); % Final touch

Так что это просто теоретическая демонстрация того, как в конце концов выполняет вычисления, но, к сожалению, это очень неэффективно, так как приходится снова и снова вызывать методы класса, а также это не гарантирует, что будет достаточно памяти для вычисления \ оператор.

Один из возможных способов улучшить это — вызвать matlab.internal.sparse.kronSparse поблочно и сохранить промежуточные результаты в правильной позиции выходного массива, но это требует тщательного обдумывания.

Кстати, я пытался использовать отправку FEX, о которой упомянул Андер (KronProd), но это не дает никакой пользы, когда вам нужно вычислить kron(A,B) + kron(C,D) (хотя это потрясающе для ситуаций kron(A,B)\b).