SetState не обновляет пользовательский интерфейс, даже если переменная не объявлена ​​​​в методе сборки

setState перезапустит метод build, поэтому, если вы объявите _widgetOptions вне метода build, его содержимое не изменится. setState на _selectedIndex будет работать, потому что он просто выбирает один элемент в _widgetOptions.

Поэтому удалите late final и переместите объявление _widgetOptions в метод сборки:

import 'package:flutter/material.dart';

void main() => runApp(const MyApp());

class MyApp extends StatelessWidget {
  const MyApp({super.key});

  static const String _title = 'Flutter Code Sample';

  @override
  Widget build(BuildContext context) {
    return const MaterialApp(
      title: _title,
      home: MyStatefulWidget(),
    );
  }
}

class MyStatefulWidget extends StatefulWidget {
  const MyStatefulWidget({super.key});

  @override
  State<MyStatefulWidget> createState() => _MyStatefulWidgetState();
}

class _MyStatefulWidgetState extends State<MyStatefulWidget> {
  int _selectedIndex = 0;
  static const TextStyle optionStyle =
      TextStyle(fontSize: 30, fontWeight: FontWeight.bold);

  int _volume = 0;

  void changeVolume() {
    _volume += 1;
  }

  void _onItemTapped(int index) {
    setState(() {
      _selectedIndex = index;
    });
  }

  @override
  Widget build(BuildContext context) {
    List<Widget> _widgetOptions = <Widget>[
      Row(
        children: <Widget>[
          IconButton(
            icon: const Icon(Icons.volume_up),
            tooltip: 'Increase volume by 1',
            onPressed: () {
              setState(() {
                changeVolume();
              });
            },
          ),
          Expanded(
            child: Text('Volume : $_volume'),
          ),
          Expanded(
            child: FittedBox(
              child: FlutterLogo(),
            ),
          ),
        ],
      ),
      Text('Volume  : $_volume'),
      Text(
        'Index 2: School',
        style: optionStyle,
      ),
    ];

    return Scaffold(
      appBar: AppBar(
        title: const Text('BottomNavigationBar Sample'),
      ),
      body: Center(
        child: _widgetOptions.elementAt(_selectedIndex),
      ),
      bottomNavigationBar: BottomNavigationBar(
        items: const <BottomNavigationBarItem>[
          BottomNavigationBarItem(
            icon: Icon(Icons.home),
            label: 'Home',
          ),
          BottomNavigationBarItem(
            icon: Icon(Icons.business),
            label: 'Business',
          ),
          BottomNavigationBarItem(
            icon: Icon(Icons.school),
            label: 'School',
          ),
        ],
        currentIndex: _selectedIndex,
        selectedItemColor: Colors.amber[800],
        onTap: _onItemTapped,
      ),
    );
  }
}

Конечно, вы можете оптимизировать его, но приведенный выше код работает в DartPad, как и ожидалось.

(Кстати, late отмечает переменную-член, которой не присвоено значение при объявлении, но вы убедитесь, что она будет иметь значение до того, как какая-либо часть вашего кода получит к ней доступ. Так что на самом деле она не имеет реального значения, когда вы назначаете ненулевое значение переменной.)