Strcat не добавляет символ

Начнем с того, что strcat("0",hour) приведет к неопределенному поведению, когда вы попытаетесь изменить литеральную строку "0", что не разрешено.

Вместо того, чтобы использовать несколько вызовов strcat, почему бы просто не создать строку, достаточно большую, чтобы соответствовать результату, и использовать snprintf для помещения содержимого в строку?

Использование snprintf также упростит добавление нулевого префикса к значению часа.

Возможно что-то вроде этого:

// Allocate memory, and actually create the string
// 2 for hour, 2 for minutes, 1 for colon, 1 for terminator
char *result = malloc(6);

snprintf(result, 6, "%02d:%02d", getHour(), getMinute());

return result;

Как упоминалось в комментариях, лучшим решением было бы передать массив result в качестве аргумента функции. Это лучше справится с владением массивом result и, возможно, даже не потребует динамического распределения.

_{[Note that the above is a pure C solution, it's not even valid in C++. I wrote it before noticing that the code in the question is really C++.]}

Учитывая, что вы действительно программируете на C++, а не на C, то решение с использованием строковых потоков и std::string будет более подходящим:

std::string oledScreen::getCurrentTime(){
    std::ostringstream oss;

    oss << std::setw(2) << std::setfill('0') << getHour() << ':'
        << std::setw(2) << std::setfill('0') << getMinute();

    return oss.str();
}