Суммируйте, пока не будет достигнуто пороговое значение, а затем сбросьте счетчик

Использовать определяемый пользователем агрегат

Живой тест: http://sqlfiddle.com/#!17/16716/2

SELECT *, sum_with_reset(distance, 10) over (order by date asc) as running_distance 
FROM tbl;

Определение определяемого пользователем агрегата sum_with_reset:

create or replace function sum_reset_accum(
    _accumulated numeric, _current numeric, _threshold numeric
)
returns numeric as
$$
    select case when _accumulated >= _threshold then
        _current
    else
        _current + _accumulated
    end    
$$ language sql;


create aggregate sum_with_reset(numeric, numeric)
(
    sfunc = sum_reset_accum,
    stype = numeric,
    initcond = 0
);

Данные

CREATE TABLE tbl
    ("user_id" int, "date" timestamp, "distance" int)
;

INSERT INTO tbl
    ("user_id", "date", "distance")
VALUES
    (1, '2019-04-09 00:00:00', 2),
    (1, '2019-04-09 00:00:30', 5),
    (1, '2019-04-09 00:01:00', 3),
    (1, '2019-04-09 00:01:45', 7),
    (1, '2019-04-09 00:02:30', 6),
    (1, '2019-04-09 00:03:00', 1)
;

Выход:

| user_id |                 date | distance | running_distance |
|---------|----------------------|----------|------------------|
|       1 | 2019-04-09T00:00:00Z |        2 |                2 |
|       1 | 2019-04-09T00:00:30Z |        5 |                7 |
|       1 | 2019-04-09T00:01:00Z |        3 |               10 |
|       1 | 2019-04-09T00:01:45Z |        7 |                7 |
|       1 | 2019-04-09T00:02:30Z |        6 |               13 |
|       1 | 2019-04-09T00:03:00Z |        1 |                1 |

Один лайнер:

create or replace function sum_reset_accum(
    _accumulated numeric, _current numeric, _threshold numeric
)
returns numeric as
$$
    select _current + _accumulated * (_accumulated < _threshold)::int
$$ language 'sql';

Логическое значение Postgres может привести true к 1, false к 0 с помощью оператора приведения ::int.

Вы также можете использовать язык plpgsql:

create or replace function sum_reset_accum(
    _accumulated numeric, _current numeric, _threshold numeric
)
returns numeric as
$$begin
    return _current + _accumulated * (_accumulated < _threshold)::int;
end$$ language 'plpgsql';

Обратите внимание, что вы не можете создать функцию plpgsql на sqlfiddle.com, поэтому вы не можете протестировать этот код plpgsql на sqlfiddle.com. Вы можете, хотя на вашей машине.

Как вариант, вы можете использовать RECURSIVE CTE, чтобы получить его

Тестовая таблица:

CREATE TABLE public.table_b (
    user_id int4 NULL,
    "date" timestamp NULL,
    distance int4 NULL
);

INSERT INTO public.table_b (user_id,"date",distance) VALUES 
(1,'2019-04-09 00:00:00.000',2)
,(1,'2019-04-09 00:00:30.000',5)
,(1,'2019-04-09 00:01:00.000',3)
,(1,'2019-04-09 00:01:45.000',7)
,(1,'2019-04-09 00:02:30.000',6)
,(1,'2019-04-09 00:03:00.000',1)
,(2,'2019-04-09 00:00:00.000',2)
,(2,'2019-04-09 00:00:30.000',5)
,(2,'2019-04-09 00:01:00.000',3)
,(2,'2019-04-09 00:01:45.000',7)
,(2,'2019-04-09 00:02:30.000',6)
,(2,'2019-04-09 00:03:00.000',1);

Запрос:

WITH RECURSIVE cte1 AS(
    SELECT *,ROW_NUMBER()OVER(PARTITION BY user_id ORDER BY date) n
    FROM table_b
),
cte2 AS(
    SELECT user_id,date,distance,distance running_distance,n
    FROM cte1
    WHERE n=1

    UNION ALL

    SELECT c1.user_id,c1.date,c1.distance,CASE WHEN c2.running_distance<10 THEN c2.running_distance ELSE 0 END+c1.distance running_distance,c1.n
    FROM cte1 c1
    JOIN cte2 c2 ON c2.user_id=c1.user_id AND c2.n+1=c1.n
)
SELECT user_id,date,distance,running_distance
FROM cte2
ORDER BY user_id,date