TypeError: start() принимает 0 позиционных аргументов, но был задан 1

self.start() — это сокращение от start(self). Таким образом, вы не можете передать метод, привязанный к объекту, вам придется передать свободную функцию (или статический метод). Все методы класса ожидают аргумент self (ваш start метод не должен работать).

class Example:
    def method(self):  # Takes `self` as parameter
        pass

Вместо этого вы должны создать статический метод, который не принимает никаких параметров:

class Example:
    @staticmethod
    def my_static_method():
        # Doesn't take `self` as parameter, which means you cannot use
        # `self` in this method.
        pass

или отдельная функция, которая вообще не привязана к классу.

def my_function():
    pass

Их можно передавать как функции, не принимающие никаких аргументов.

В вашем конкретном случае вы можете сделать start статическим методом, так как он не использует self или бесплатную функцию:

class MainMenu:
    def __init__(self, screen):
        pygame.init()
        self.screen = screen    
    
    def button(self, rect, radius=0, action=None):
        click = pygame.mouse.get_pressed()
        if rect.collidepoint(pygame.mouse.get_pos()):
            color = (141,182,205)
            if click[0] == 1 and action != None:
                action()
        else:
            color = (28, 134, 238)
        pygame.draw.rect(self.screen, color, rect, border_radius=radius)
    
    def menu(self):
        screen_width  = self.screen.get_width()
        screen_height = self.screen.get_height()
        mid_width  = screen_width  / 2
        mid_height = screen_height / 2
        btn_start = pygame.Rect(mid_width-150, mid_height*3/5, 300, 100)
        
        # Do this to call the static method.
        self.button(btn_start, 50, MainMenu.start)

        # Or do this to call the free standing function.
        self.button(btn_start, 50, start)
    
    @staticmethod
    def start():
        return 'start'

def start():
    return 'start'