Вращение эллипса вдоль его главных осей

Моя цель — построить эллипсоид вращения в 3D. У меня есть код для создания моделирования соответствующего эллипса в 2D:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.patches import Ellipse

# Define ground station and airplane positions
ground_station = np.array([2, 2])
airplane = np.array([4, 5])

# Actual distance between ground station and airplane
true_distance = np.linalg.norm(ground_station - airplane)

# Distance measured by DME
dme_distance = 1.25 * true_distance

# Calculate the center of the ellipse (midpoint between ground station and airplane)
center = (ground_station + airplane) / 2

# Calculate the semi-major and semi-minor axes of the ellipse
a = dme_distance / 2
b = np.sqrt(a**2 - (true_distance / 2)**2)

# Calculate the angle of rotation for the ellipse
angle = np.arctan2(airplane[1] - ground_station[1], airplane[0] - ground_station[0])

# Visualize the ellipse
ellipse = Ellipse(xy=center, width=2 * a, height=2 * b, angle=np.degrees(angle), edgecolor='r', linestyle='dotted', fill=False)

# Visualize simulation
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(*ground_station, 'ro', label='Ground Station')
plt.plot(*airplane, 'bo', label='Airplane')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.title('2D Simulation')
plt.legend()
plt.grid(True)

plt.gca().add_patch(ellipse)
plt.axis('equal')
plt.show()

Получается такой эллипс:

Теперь мне нужно расширить это 2D-представление в 3D. Два фокуса остаются в плоскости xy, а свойства эллипса остаются прежними. Цель состоит в том, чтобы повернуть эллипс вдоль его большой оси, чтобы получить эллипсоид вращения.

Мой подход заключался в создании 360 эллипсов, где каждый эллипс поворачивается на 1 градус. Почему-то я не могу заставить его просто вращаться, не меняя его свойств.

Другой подход заключался в том, чтобы просто построить его в виде эллипсоида. Вот мой код для этого:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from matplotlib.patches import Ellipse

ground_station_3d = np.array([2, 2, 0])  
airplane_3d = np.array([4, 5, 0])        

true_distance = np.linalg.norm(ground_station_3d[:2] - airplane_3d[:2])

dme_distance = 1.25 * true_distance

center = (ground_station_3d + airplane_3d) / 2

a = dme_distance / 2
b = np.sqrt(a**2 - (true_distance / 2)**2)

angle = np.arctan2(airplane_3d[1] - ground_station_3d[1], airplane_3d[0] - ground_station_3d[0])

ellipse_height = 5

fig = plt.figure(figsize=(10, 8))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

u = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)
v = np.linspace(0, np.pi, 100)
x = center[0] + a * np.outer(np.cos(u), np.sin(v))
y = center[1] + b * np.outer(np.sin(u), np.sin(v))
z = center[2] + ellipse_height * np.outer(np.ones(np.size(u)), np.cos(v))
ax.plot_surface(x, y, z, color='r', alpha=0.5)

ax.scatter(*ground_station_3d, color='b', label='Bodenstation')
ax.scatter(*airplane_3d, color='g', label='Flugzeug')
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')
ax.set_title('3D-Simulation')
ax.legend()

plt.show()

Поскольку мои расчеты осей точно такие же, я ожидал, что результат будет каким-то образом правильным. Но полученный эллипсоид не содержит ни одного из двух фокусов и, следовательно, не имеет тех же свойств, что и двумерный.

Мне нужна помощь в поиске правильного способа вращения эллипса вдоль его главной оси. Если в Python нет подходящего способа сделать это, я был бы признателен за помощь в поиске способов в других языках программирования.

С уважением

Обновлено: Использование матрицы вращения и построение эллипсоида дает следующую картину:

Как вы можете видеть, при выравнивании его вокруг оси между обоими фокусами кажется, что он ориентирован неправильно и что есть точки, которые имеют большее расстояние на пути фокус1->эллипсоид->фокус2, чем другие.