Я считаю, что в моем коде есть логическая математическая проблема, но я не могу понять, где она и почему

У вас есть две проблемы с этим кодом.

Сначала вы считаете серию, исключая последнее число:

For (int i = 1; i < input; i++) должно быть for (int i = 1; i <= input; i++)

Во-вторых, в вашем computeSumOfSquaresTo вы меняете переменную цикла i внутри цикла. Попробуйте это вместо этого:

int computeSumOfSquaresTo(int input) {
    int sumOfSquaredNaturals = 0;            
    for (int i = 1; i <= input; i++) {       
        sumOfSquaredNaturals += i * i;       
    }                                        
    return sumOfSquaredNaturals;             
}                                            

Вы также можете использовать более простой подход, используя StreamAPI:

int computeSquareOfSum(int input) {
    int sum = IntStream.rangeClosed(1, input).sum();
    return sum * sum;
}

int computeSumOfSquares(int input) {
   return IntStream.rangeClosed(1, input).map(i -> i*i).sum();
}

Или, с тем же результатом, вы можете использовать только одну функцию:

int computeDifferenceOfSquares(int input) {
    int sum = IntStream.rangeClosed(1, input).sum();
    int sumOfSquares = IntStream.rangeClosed(1, input).map(i -> i * i).sum();
    return sum * sum - sumOfSquares;
}