Есть ли способ интерпретировать строки запроса с несколькими параметрами в Laravel?

Не испытано. В контроллере:

private function parseSortFromQueryString($sortStringToParse) 
{
  $sort = [];
  if (preg_match_all('/([a-zA-Z0-9_]+)(:(asc|desc))?/', $sortStringToParse, $matches, PREG_SET_ORDER)) {
    foreach($matches as $match) {
      $sort[$match[1]] = $match[3] ?? 'asc';
    }
  }
  return $sort;
}

public function index(Request $request) 
{
  $sort = $this->parseSortFromQueryString($request->input('sort', []));
  /* With your example
   * $sort = [
   *   key1 => asc
   *   key2 => desc
   *   key3 => asc
   * ]
   */
}