Есть ли способ проверить совокупный способ получить месяц на основе полей суммы

Это немного запутанно, потому что есть некоторые проблемы с дизайном, связанные с ключами, связями и (особенно) датами.
Чтобы решить эту проблему, вам следует преобразовать строки месяца в типы данных даты. Один из способов сделать это — использовать cte для преобразования типов данных даты и расчета текущих сумм (кумулятивов) для сумм счетов и платежей.
Итак, с вашим примером данных:

WITH    --  S a m p l e    D a t a :
    invoices (customer_id, invoice_id, invoice_month, payment_month, 
              invoice_amount, payment_amt, balance_amt) AS
      ( Select 1, 1, 'DEC 23', 'JAN 24', 400.00, 400.00,   0.00 Union All 
        Select 1, 2, 'DEC 23', 'JAN 24', 600.00, 600.00,   0.00 Union All
        Select 1, 3, 'JAN 24', 'JAN 24', 200.00,  50.00, 150.00 Union All
        Select 2, 4, 'SEP 23', 'MAY 24', 800.00, 800.00,   0.00 Union All
        Select 2, 5, 'OCT 23', 'MAY 24', 750.00, 750.00,   0.00 Union All
        Select 3, 6, 'FEB 24', 'MAY 24', 925.00, 525.00, 400.00 Union All
        Select 4, 7, 'NOV 22', 'JUN 23', 325.00, 325.00,   0.00 Union All
        Select 4, 8, 'DEC 22', 'JUN 23', 425.00, 425.00,   0.00 Union All
        Select 5, 9, 'JUN 24', NULL,     500.00, NULL,   500.00
      ), 
    payments (customer_id, payment_month, amount) AS
      ( Select 1, 'JAN 24', 500 Union All
        Select 1, 'FEB 24', 550 Union All
        Select 2, 'MAR 24', 450 Union All
        Select 2, 'APR 24', 900 Union All
        Select 2, 'MAY 24', 450 Union All
        Select 3, 'MAY 24', 525 Union All
        Select 4, 'JUN 23', 350 Union All
        Select 4, 'JUN 23', 400
      ), 

... сначала создайте cte, который будет использоваться для преобразования месяцев в даты...

--  months conversion cte
    dates (mon, mm) AS
      ( Select  'JAN', '01' Union All
        Select  'FEB', '02' Union All
        Select  'MAR', '03' Union All
        Select  'APR', '04' Union All
        Select  'MAY', '05' Union All
        Select  'JUN', '06' Union All
        Select  'JUL', '07' Union All
        Select  'AUG', '08' Union All
        Select  'SEP', '09' Union All
        Select  'OCT', '10' Union All
        Select  'NOV', '11' Union All
        Select  'DEC', '12' 
      ), 

... затем создайте еще два CTE для преобразования дат (используя указанный выше CTE) и для просчета сумм счетов и сумм платежей...

--  prepare payment data (cumulative sums and dates)
    payments_cumul AS
      ( Select p.customer_id, p.payment_month, p.amount, 
               STR_TO_DATE( Concat('01', d.mm, SubStr(p.payment_month, 5, 2)), '%d%m%y' ) as pay_date, 
               Sum(p.amount) Over(Partition By p.customer_id 
                                 Order By STR_TO_DATE( Concat('01', d.mm, SubStr(p.payment_month, 5, 2)), '%d%m%y' )
                                Rows Between Unbounded Preceding And Current Row) as pay_amt_cumul
        From   payments p
        Inner Join dates d ON( d.mon = SubStr(p.payment_month, 1, 3))
      ),

--  prepare invoice data (cumulative sums and dates)
    grid as
      ( Select    i.customer_id, i.invoice_id, 
                  i.invoice_month, i.payment_month as inv_payment_month, 
                  i.invoice_amount, 
                  Sum(i.invoice_amount) Over( Partition By i.customer_id, i.payment_month
                                              Order By STR_TO_DATE( Concat('01', d.mm, SubStr(i.payment_month, 5, 2)), '%d%m%y' )
                                              Rows Between Unbounded Preceding And Current Row
                                            ) as inv_amt_cumul,
                  i.payment_amt, i.balance_amt,
                  STR_TO_DATE( Concat('01', d.mm, SubStr(i.payment_month, 5, 2)), '%d%m%y' ) as inv_pay_date
        From      invoices i
        Left Join dates d ON( d.mon = SubStr(i.payment_month, 1, 3) )
      ) 

... наконец, соедините все это вместе, агрегируйте и сгруппируйте по...

--    M a i n    S Q L :
Select    g.customer_id, g.invoice_id,  
          Max(g.invoice_month) as invoice_month, 
          g.inv_payment_month,
          g.invoice_amount, g.payment_amt, g.balance_amt, 
          DATE_FORMAT(Case When g.inv_amt_cumul - Max(Coalesce(p.pay_amt_cumul, 0)) > 0
               Then Coalesce(Max(p.pay_date), g.inv_pay_date)  
          Else g.inv_pay_date
          End, '%M %y')  as payment_final_month
From      grid g
Left Join payments_cumul p ON( p.customer_id = g.customer_id And 
                               g.inv_amt_cumul >= p.pay_amt_cumul  
                             )
Group By g.customer_id, g.invoice_id, g.inv_payment_month, g.inv_pay_date, 
         g.invoice_amount, g.payment_amt, g.balance_amt
Order By g.customer_id, g.invoice_id

/*    R e s u l t :
customer_id invoice_id  invoice_month   inv_payment_month   invoice_amount  payment_amt balance_amt payment_final_month
----------- ----------  --------------  ------------------  --------------  ----------- ----------- -------------------
1                    1  DEC 23          JAN 24                      400.00       400.00        0.00 January 24
1                    2  DEC 23          JAN 24                      600.00       600.00        0.00 January 24
1                    3  JAN 24          JAN 24                      200.00        50.00      150.00 February 24
2                    4  SEP 23          MAY 24                      800.00       800.00        0.00 March 24
2                    5  OCT 23          MAY 24                      750.00       750.00        0.00 April 24
3                    6  FEB 24          MAY 24                      925.00       525.00      400.00 May 24
4                    7  NOV 22          JUN 23                      325.00       325.00        0.00 June 23
4                    8  DEC 22          JUN 23                      425.00       425.00        0.00 June 23
5                    9  JUN 24          null                        500.00         null      500.00 null        */

См. скрипку здесь.

ОБНОВЛЕНИЕ: (Код ошибки: 1270. Недопустимое сочетание параметров сортировки)
смешанная сортировка внутри функции Concat() вызывает ошибку. Первые две строки в concat — utf8, а третья — latin1. Используйте явное сопоставление либо для первых двух, либо для третьего и сделайте их одинаковыми (все 4 объединения в коде):

STR_TO_DATE( Concat('01',   -- utf8
                    d.mm,   -- utf8
                    SubStr(p.payment_month COLLATE utf8mb4_0900_ai_ci, 5, 2)), 
           '%d%m%y' )

ИЛИ

STR_TO_DATE( Concat('01'  COLLATE latin1_swedish_ci, 
                    d.mm  COLLATE latin1_swedish_ci, 
                    SubStr(p.payment_month, 5, 2)),   -- latin1
            '%d%m%y' )