Есть ли способ сериализовать указанные MonoBehaviours в JSON?

Can I somehow serialize ClassA including its nested classes into one JSON file?

Да, вы могли бы, но это потребует некоторой работы:

Вы можете иметь [Serializable] классы представления для ClassB и ClassC и использовать ISerializationCallbackReceiver интерфейс для их заполнения и использования в ClassA

Что-то вроде, например.

public class ClassB : MonoBehaviour
{
    [SerializeField] private float example1;
    [SerializeField] private string example2;
    // etc.

    public void SetUp(SerializableClassB values)
    {
        // set all values
        this.example1 = values.example1;
        this.example2 = values.example2;
        // etc.
    }

    public SerializableClassB GetSerializable()
    {
        var output = new SerializableClassB();

        output.example1 = this.example1;
        output.example2 = this.example2;
        // etc.

        return output;
    }
}

[Serializable]
public class SerializableClassB
{
    public float example1;
    public string example2;
    // etc
}

И то же самое для ClassC

public class ClassC : MonoBehaviour
{
    [SerializeField] private float example3;
    [SerializeField] private string example4;
    // etc.

    public void SetUp(SerializableClassC values)
    {
        // set all values
        example3 = values.example3;
        example4 = values.example4;
        // etc.
    }

    public SerializableClassC GetSerializable()
    {
        var output = new SerializableClassC();

        output.example3 = example3;
        output.example4 = example4;
        // etc.

        return output;
    }
}

[Serializable]
public class SerializableClassC
{
    public float example3;
    public string example4;
    // etc
}

Тогда в ClassA вы можете сделать

public class ClassA : MonoBehaviour, ISerializationCallbackReceiver
{
    public ClassB _classB;
    public ClassC _classC;

    [SerializeField] private SerializableClassB _serializableClassB;
    [SerializeField] private SerializableClassC _serializeableClassC;


    public void OnBeforeSerialize()
    {
        // before writing to a Json get the information from the MonoBehaviours into the normal classes
        if (_classB) _serializableClassB = _classB.GetSerializable();
        if (_classC) _serializeableClassC = _classC.GetSerializable();

    }

    public void OnAfterDeserialize()
    {
        // after deserializing write the infromation from the normal classes into the MonoBehaviours
        if (_classB) _classB.SetUp(_serializableClassB);
        if (_classC) _classC.SetUp(_serializeableClassC);
    }
}

Второе огромное преимущество (побочный эффект) заключается в том, что теперь вы дополнительно можете также контролировать значения _classB и _classC непосредственно в экземпляре ClassA. Таким образом, вы можете изменять значения MonoBehaviour в централизованном классе менеджера.

После сериализации в json с использованием

private void Start()
{
    File.WriteAllText(Path.Combine(Application.streamingAssetsPath, "Test.txt"), JsonUtility.ToJson(this));
    AssetDatabase.Refresh();
}

теперь вы получаете

{
    "_classB":{"instanceID":-6766},"_classC":{"instanceID":-6826},
    "_serializableClassB": {
            "example1":23.0,
            "example2":"54ththfghg"
    },
    "_serializeableClassC": {
            "example3":67.0,
            "example4":"567gffhgfhgf"
    }
}

Чем для примера я изменил его на

{
    "_classB":{"instanceID":-6766},"_classC":{"instanceID":-6826},
    "_serializableClassB": {
            "example1":47,
            "example2":"Hello"
    },
    "_serializeableClassC": {
            "example3":32.123,
            "example4":"World!"
    }
}

и десериализован при запуске из json с использованием

private void Start()
{
    JsonUtility.FromJsonOverwrite(File.ReadAllText(Path.Combine(Application.streamingAssetsPath, "Test.txt")), this);
}