Запись в один и тот же файл с помощью двух операторов using и двух операторов записи

Я пытаюсь открыть файл на С#, затем написать в него текст и завершить сжатием массива байтов в тот же файл. Итак, файл, который я хочу создать, выглядит примерно так:

sometextinascii
somemoretextinascii
BUNCHOFNONHUMANREADABLEBYTES

и я сделал следующее:

// Code where we get values of the following variables:
// string filename
// Byte[] buffer
using (FileStream file = new(filename, FileMode.Create, FileAccess.Write))
{
    using (StreamWriter writer = new(file))
    {
        writer.WriteLine("sometext");
        writer.WriteLine("somemoretext");
    }
    using (GZipStream zipStream = new(file, CompressionMode.Compress))
    {
        zipStream.Write(buffer, 0, buffer.Length);
    }
}

но это не работает. Когда я запускаю этот код, я получаю ошибку

System.ArgumentException: 'Stream does not support writing. (Parameter 'stream')'

когда создается переменная zipStream.

Чего я не понимаю, так это того, что если я удалю часть кода StreamWriter, код будет работать нормально. Итак, у меня два вопроса:

1. Закрывает ли StreamWriterfile, когда тот закрывается сам?
2. Если да, то как я могу это предотвратить? Если нет, то в чем причина моей ошибки?