Запускать метод из военного приложения автоматически после запуска сервера tomcat

Насколько я понял, вы используете Spring. Таким образом, вы можете просматривать события контекста приложения Spring. Например, вы можете определить метод прослушивания событий следующим образом.

@EventListener
public void handleContextRefreshEvent(ContextStartedEvent ctxStartEvt) {
    System.out.println("Context Start Event received.");
}

В Tomcat вы можете использовать собственный Жизненный циклПрослушиватель Tomcat. Если вы зарегистрируете слушателя для AFTER_START_EVENT на хост-компоненте, вы должны получить то, что хотите.

Пример кода LifecycleListener:

package my.sourcecode;

import org.apache.catalina.Lifecycle;
import org.apache.catalina.LifecycleEvent;
import org.apache.catalina.LifecycleListener;

public class TomcatHostLifecycleListener implements LifecycleListener {

@Override
public void lifecycleEvent(LifecycleEvent lifeCE) {

    if (Lifecycle.AFTER_START_EVENT.equals(lifeCE.getType())) {
        System.out.println("************ TomcatHostLifecycleListener: After Start Event");
    }

}

}

Код должен быть помещен в виде JAR-файла в глобальную папку lib Tomcat!

LifecycleListener должен быть зарегистрирован в Tomcats сервер.xml, в вашем случае внутри элемента хоста, потому что мы хотим прослушивать запуск хоста:

....
<Host ... >
    <Listener className = "my.sourcecode.TomcatHostLifecycleListener"/>
    ....

См. Lifecycle-Doc для получения дополнительной документации.

(Протестировано с Tomcat 8.5.30 и Java 11)

При использовании Spring Boot добавление аннотации @PostConstruct к методу приводит к его запуску после запуска приложения Spring Boot.