Async и Await не работают в Axios React

Это должно работать:

    componentDidMount() {
        axios.get('/api/employee/fulano')
         .then(res => this.setState({
          employees: res.data
         }, () => {

           this.state.employees.map(i => {
           axios.get(`/api/status/${i.mail}`)
             .then( async (res) => { // Fix occurred here
                let mails = [].concat(res.data)
                await this.setState({
                  mails: mails
             })
          })
          .catch(err => console.info(err))
        })
      }))
         .catch(err => console.info(err))
     }

Вы поставили async не в то место

async следует помещать в определение функции, а не в вызов функции

componentDidMount() {
    let mails = [];
    axios.get('/api/employee/fulano')
    .then(res => this.setState({
        employees: res.data
    }, () => {
        this.state.employees.map(i => {
            axios.get(`/api/status/${i.mail}`)
            .then(async (res) => {
                mails.push(res.data)
                await this.setState({
                    mails: mails
                })
            })
            .catch(err => console.info(err))
        })
    }))
    .catch(err => console.info(err))
}

Вы используете async await не в том месте. Ключевое слово async должно использоваться для функции, содержащей асинхронную функцию.

Ключевое слово await необходимо использовать для выражения, которое возвращает Promise, и хотя setState - это async, оно не возвращает обещание, и, следовательно, await не будет работать с ним.

Ваше решение будет выглядеть так

componentDidMount() {
  let mails = [];
  axios.get('/api/employee/fulano')
    .then(res => this.setState({
      employees: res.data
    }, async () => {

      const mails = await Promise.all(this.state.employees.map(async (i) => { // map function contains async code
        try {
             const res = await axios.get(`/api/status/${i.mail}`)
             return res.data;
        } catch(err) { 
            console.info(err)
        }
      })
      this.setState({ mails })
    }))
    .catch(err => console.info(err))
}

Смешивать async/await с .then/.catch - не лучшая практика. Вместо этого используйте одно или другое. Вот пример того, как вы могли бы это сделать, используя ТОЛЬКОasync/await и ТОЛЬКО one this.setState() (ссылка на функцию Promise.each):

componentDidMount = async () => {
  try {    
    const { data: employees } = await axios.get('/api/employee/fulano'); // get employees data from API and set res.data to "employees" (es6 destructing + alias)

    const mails = []; // initialize variable mails as an empty array

    await Promise.each(employees, async ({ mail }) => { // Promise.each is an asynchronous Promise loop function offered by a third party package called "bluebird"
      try {
       const { data } = await axios.get(`/api/status/${mail}`) // fetch mail status data
       mails.push(data); // push found data into mails array, then loop back until all mail has been iterated over
      } catch (err) { console.error(err); }
    })

    // optional: add a check to see if mails are present and not empty, otherwise throw an error.

    this.setState({ employees, mails }); // set employees and mails to state
  } catch (err) { console.error(err); }

}