Быстрый способ превратить столбцы матрицы в единичные векторы

TL; DR

Если у вас есть MATLAB 2016b или новее и нет проблем с совместимостью, я бы использовал

S = S ./ sqrt(sum(S.^2,1));

Обновлено: см. Тест внизу для оценки производительности альтернатив.

Контекст

Мы можем просто вручную вычислить норму и разделить по столбцам.

По определению norm(x) = sqrt( sum( x(:).^2 ) ). Я использовал здесь (:), чтобы показать, что norm рассчитывается по всей матрице. Для нас полезно то, что sum по умолчанию работает по столбцам, поэтому норма по столбцам определяется следующим образом:

nrm = sqrt( sum( x.^2 ) );

Обратите внимание: если существует вероятность того, что ваша матрица S будет иметь только 1 строку, вам следует явно принудительно применить суммирование по столбцам с помощью nrm = sqrt(sum(x.^2,1)).

Теперь у нас есть несколько вариантов разделения:

• Неявное расширение (MATLAB R2016b или новее)

  S = S ./ nrm;
  

• Неявное расширение с использованием bsxfun (все версии MATLAB)

  S = bsxfun( @mrdivide, S, nrm );
  

• Ручное расширение с использованием repmat (все версии MATLAB)

  S = S ./ repmat(nrm, size(S,1), 1);
  

Если у вас есть MATLAB R2017b или новее, и снова нет проблем с совместимостью, вы можете использовать vecnorm, который можно использовать вместо ручного расчета нормы.

S = S ./ vecnorm(S, 2, 1);

Контрольный показатель:

Поскольку вы просили производительность, вот простой тест для проверки скорости этих различных методов. В частности, исходный цикл в вашем вопросе по сравнению с неявным расширением с помощью vecnorm или ручного расчета.

• Результаты (запуск с использованием R2017b)

           size(S):  1e3*1e2  1e5*1e3  1e3*1e6    
           Looping:  0.0005   1.0186   12.7788
   Implicit manual:  0.0001   1.1236   10.4031
  Implicit vecnorm:  0.0002   0.5774    6.8058
  

• Выводы

  • Для относительно небольших массивов все методы очень быстрые, и я бы предпочел ясность кода производительности.
  • Если вы хотите использовать только поддерживающие его версии MATLAB, vecnorm примерно в два раза быстрее других методов для больших матриц.
  • Для матриц порядка 1e5*1e3 зацикливание сравнимо с неявным расширением.

• Код

  function benchie()
      S = rand( 1e3, 1e2 )*5;
  
      f1 = @() loopingNorm(S);
      f2 = @() implicitManual(S);
      f3 = @() implicitVecnorm(S);
  
      fprintf( 'Looping: %.4f\nImplicit manual: %.4f\nImplicit vecnorm: %.4f\n', ...
               timeit(f1), timeit(f2), timeit(f3) );
  end
  function S = loopingNorm(S)
      for ii = 1:size(S,2)
          S(:,ii) = S(:,ii) / norm( S(:,ii) );
      end
  end
  function S = implicitManual(S)
      S = S ./ sqrt(sum(S.^2,1));
  end
  function S = implicitVecnorm(S)
      S = S ./ vecnorm( S, 2, 1 );
  end