DispatchQueue.main.asyncAfter с переключателем включения/выключения

Лучше использовать DispatchSourceTimer, который можно отменить.

var timer : DispatchSourceTimer?

func startTimer()
{
    if timer == nil {
        timer = DispatchSource.makeTimerSource(queue: DispatchQueue.global())
        timer!.schedule(deadline: .now() + .seconds(8))
        timer!.setEventHandler {
            DispatchQueue.main.async {
                NotificationCenter.default.post(name: NSNotification.Name(rawValue: toastErrorNotificationKey), object: self, userInfo: ["toastErrorCase" : ToastErrorCase.poorConnection])
            }
            self.timer = nil
        }
        timer!.resume()
    } 
}

func getSomethingFromFirebase() {

    startTimer()

    ref.observeSingleEvent(of: .value, with: { snapshot in
         self.timer?.cancel()
         self.timer = nil
        //do other stuff
    })
}

Timer — лучший способ сделать это (зачем хранить эту отправленную задачу после того, как вы получили ответ и знаете, что она вам больше не нужна). Но я не вижу ничего выше, что могло бы вызвать поведение, которое вы описываете. Я бы посоветовал вам добавить разумное ведение журнала и / или «наблюдать» за isOn, чтобы вы могли видеть, где он устанавливается / сбрасывается.

Но реализация Timer может выглядеть так:

class ResponseTimer {
    private weak var timer: Timer?

    func schedule() {
        timer = Timer.scheduledTimer(withTimeInterval: 8, repeats: false) { _ in // if you reference `self` in this block, make sure to include `[weak self]` capture list, too
            NotificationCenter.default.post(...)
        }
    }

    func invalidate() {
        timer?.invalidate()
    }

    // you might want to make sure you `invalidate` this when it’s deallocated just in 
    // case you accidentally had path of execution that failed to call `invalidate`.

    deinit {
        invalidate()
    }
}

И тогда вы можете сделать:

func getSomethingFromFirebase() {

    var responseTimer = ResponseTimer()
    responseTimer.schedule()

    ref.observeSingleEvent(of: .value) { snapshot in
        responseTimer.invalidate()

        //do other stuff
    }
}