Дублируйте элемент из массива, затем измените идентификатор

splice — изменяемое действие. В React вы всегда создаете новые данные —

const duplicateCard = (index, listId) => {
  setData(data => {
    const list = data.lists[listId]
    return {
      ...data,
      lists: {
        ...data.lists,
        [listId]: {
          ...list,
          cards: [
            {
              ...list.cards.at(index),
              id: list.cards.length // you need better id generator
            },
            ...list.cards,
          ]
        },
    },
  })
}

Настоящий государственный кошмар вы себе создали!

Вы можете попытаться управлять этим с помощью общей функции, например update -

function update(key, func) {
  return t => { switch (t.constructor) {
    case Array:
      return [...t.slice(0, key), func(t.at(key), key, t), ...t.slice(key + 1)]
    case Object:
      return {...t, [key]: func(t[key], key, t)}
    default:
      throw Error(`update called on non-object: ${t}`)
  }}
}

Теперь вашу функцию duplicateCard можно улучшить. Примечание newId является обязанностью звонящего -

const duplicateCard = (index, listId, newId) => {
  setData(
    update("lists",
      update(listId,
        update("cards", cards => [
          { ...cards.at(index), id: newId },
          ...cards,
        ])
      )
    )
  )
}

Это большой шаг в правильном направлении, и, возможно, вы увидите закономерность. Тем не менее, это кажется большим усилием.

Оказывается, неизменяемые структуры данных имеют хорошо продуманные и протестированные инструменты для работы с ними. Посмотрите такие библиотеки, как ImmutableJS.

Как предполагает @cmgchess, это работает:

const duplicateCard = (index, listId) => {
    const list = data.lists[listId];
    const duplicate_item = {...list.cards[index]};
    duplicate_item["id"] = (list.cards.length + 1).toString();
    list.cards.splice(0, 0, duplicate_item);
    const newState = {
      ...data,
      lists: {
        ...data.lists,
        [listId]: list,
      },
    };
    setData(newState);
    window.localStorage.setItem("datt", JSON.stringify(newState));
  };